面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (335ﾚｽ)

面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/

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8: １３２人目の素数さん [] 2025/05/02(金) 05:11:41.28 ID:I5V0m0za ほんとだ… 考え直します http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/8

10: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/02(金) 23:31:47.28 ID:WyRmJZbH 半径 1/2 の円としてよい。４辺の弦の円周角を x,y,z,w とする。4 辺は sin(x), sin(y), sin(z), sin(w)、２本の対角線の長さは sin(x+y)=sin(z+w), sin(x+y)=sin(z+w) である。とくに 対角線の長さの２乗の和は 2 以下である。 R = {(x,y,z,w) ; x,y,z,w ≧ 0 , x+y+z+w = π } において 2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w)) - (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x)) ≧ 0 を示せばよい。 S = 2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w)) - (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x)) とおく。x=0 においては S = 2sin²(z) だから境界上では S≧0 である。 内点において S が極値をとるとき T = sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w)、すなわち 4 辺の2乗和が 2となることを示せばよい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/10

120: １３２人目の素数さん [] 2025/07/09(水) 08:21:47.28 ID:XhF+tWVB 面白いな どうやってこの解法を思いつくのか謎だが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/120

134: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/12(土) 08:21:17.28 ID:v+eu2xVR >>130 以降の議論が追えないので整理してみた c'=c/2, d'=d/2 とおく (i) 7^d' + 5^c' = (3^a×4^b)/2 …(i-1) 7^d' - 5^c' = 2 …(i-2) (i-1)-(i-2) を整理して 5^c' + 1 = 3^a×4^(b-1) この式のmod4は (左辺)≡2, (右辺)≡0,1,3 になるので解無し (ii) 7^d' + 5^c' = 2×3^a …(ii-1) 7^d' - 5^c' = (4^b)/2 …(ii-2) d>0 より (ii-1) の左辺は8以上になるので、a>0. これより (ii-1) のmod3をとると 1 + (-1)^c' ≡ 0. ゆえに c' は奇数。 したがって (ii-2) のmod8をとると (-1)^d' - 5 ≡ 0 or 2 であるから d' は奇数、b=1 でなければならない。 しかし b=1 を (ii-1)-(ii-2) に代入して整理すると 5^c' = 3^a - 1 となり、mod2で矛盾するため解無し。 (iii) 7^d' + 5^c' = (4^b)/2 …(iii-1) 7^d' - 5^c' = 2⋅3^a …(iii-2) (iii-1) のmod8をとると 5^c' ≡ (4^b)/2 - (-1)^d' ≡ 1,3,7 であるから、c' は偶数。 c''=c'/2 とおくと、(iii-1)-(iii-2) を整理して変形することで 3^a = (2^(b-1) + 5^c'')(2^(b-1) - 5^c'') を得る。 ゆえにこの右辺で掛け合わされている２つの因数はいずれも3以外の素因数を持たないが、 ２つの因数の最大公約数は (2^(b-1) + 5^c'') + (2^(b-1) - 5^c'') = 2^b の約数でもなければならず、したがって 1 以外にあり得ない。 以上より 2^(b-1) + 5^c'' = 3^a …(iii-3) 2^(b-1) - 5^c'' = 1 …(iii-4) が導ける。(iii-4) のmod8をとることにより b=2 でなければならないことがわかるので、 (iii-4) から c''=0、 (iii-3) から a=1、 (iii-1) から d'=1 が順に導ける。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/134

201: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/11(月) 01:28:45.28 ID:fRqBIPZy Find all non-constant functions f:ℤ → ℤ such that f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1 holds for all x,y ∈ℤ. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/201

225: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 14:13:02.28 ID:n4KBK1iW >>224 私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております 従いまして高校範囲での解答を期待します http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/225

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