[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
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215(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 04/25(金)20:49 ID:Cs3PUAuZ(5/5) AAS
つづき
1923年にはすでに[ 15 ]、フォン・ノイマンはカントールの順序数に対する新しい概念を提案していた。これはカントールが順序付き集合の順序型の抽象化から定義したものだ。フォン・ノイマンは順序数を集合論の公理を通じて導入された特定の集合とみなします。これは空集合 0から始まり、次に順序数 1のシングルトン {0}が続き、その後に順序数2 のペア{0,{0}}が続きます 。したがって、順序数 2 には0 と 1 が要素として含まれます。各順序数n (集合) の後には、その順序数 n が続き、これはn ∪ { n } の和として定義されます。これ以上説明を進めるつもりはありませんが、順序数 ω はすべての有限順序数を含む最小の順序数であり、ω+1 = ω ∪ { ω } などが続く最初の無限順序数であると付け加えることができます。その後、フォン・ノイマンは置換公理を使用して、順序数帰納法によって集合を定義する強力な方法を開発しました。この方法は、集合論に関する現在の書籍[ 16 ]でも今でも高い位置を占めています。
1930年にツェルメロは、自身とフランケルにちなんでZFと名付けた新しい公理系を提案した[ 17 ]。このシステムには、置換公理と基礎公理が含まれます。しかしながらツェルメロは、スコーレム[ 18 ]とは異なり、第一階論理の枠組みに自分自身を制限していません。 1908 年と同様に、ツェルメロは、集合ではなく要素を含まないドメインのオブジェクトである 原素の存在を認めています。これらの対象は現在では集合論から省略されることが多い[ 19 ]。
ゲーデルとバーナイズによるGB [ 20 ]（またはBG [ 21 ] ）公理系は1940年以前に登場し[ 22 ]、ZFの拡張である。 GB言語にはセット変数とクラス変数があります（クラス変数は特定のセットファミリーを表現するものと考えることができます[ 23 ]）。しかし、集合のみに関係し、GBで証明できる命題はZFでも証明できる[ 24 ]。
1966年にポール・コーエンが連続体仮説の独立性の証明に関する著書[ 25 ]で、今日行われているようなZF理論が提示されました。
(引用終り)
以上
231(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 04/26(土)08:42 ID:2tFMGt7T(1/8) AAS
「ツェルメロ集合論」の小まとめ
１）>>180「一階の論理式」という概念はツェルメロが自身の公理系を発表した1908年には知られておらず、ツェルメロは後にこの解釈をあまりにも限定的であるとして拒絶していた
また、”ツェルメロ集合論の二階述語論理としての解釈はおそらくツェルメロ自身の考え方に近く、一階述語論理での解釈よりも強い”
２）The axioms of Zermelo set theory>>212
（Zermeloの無限公理）
7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
（google訳）
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