ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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122: １３２人目の素数さん [] 2025/04/24(木) 16:58:28.90 ID:mLnhCbkC

>>109
>>かように、ツェルメロ定義の順序数の各元のカッコ{}の多重度から 順序数への対応がつく
>>この順序数による整列を、ツェルメロの定義の順序数の順序Rの定義としてもいい■
>だから順序数でないと何度言えば分るのか。人の言う事を聞けないとヒトになれないぞサル。
>ZFCでは任意の集合は整列集合であり任意の整列集合は何らかの順序数と順序同型だけどね。

ふっふ、ほっほ
現代数学では、デフォは ペアノの公理を満たせば、自然数を名乗っても良いとされる
何故なら ”同型を除いてただ一つに定まる”（下記）
また、ふつうの学部以上の数学では 必ずしも ZFCの内部での 数学を やらないのです！　何故なら ZFCは 余白が狭すぎる by フェルマーｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
ペアノの公理（英: Peano axioms） とは、自然数の全体を特徴づける公理である。ペアノの公準（英: Peano postulates）あるいはデデキント＝ペアノの公理（英: Dedekind-Peano axioms）とも呼ばれる[1][2]。1891年にイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノにより定式化された。

ペアノの公理を起点にして、初等算術と整数・有理数・実数・複素数の構成などを実際に展開してみせた古典的な書物に、1930年に出版されたランダウによる『解析学の基礎』（Grundlagen Der Analysis）がある。

回帰定理
次の主張を回帰定理（recursion theorem）という[6]。
略
回帰定理はこのような再帰的に定義される写像の存在と一意性を数学的帰納法の原理により保証する。

範疇性
集合 ℕ^ と定数 0^ と関数 S^ がペアノの公理を満たすとき組 (ℕ^, 0^, S^) をペアノ構造（Peano structure）という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる[注 4]、つまりペアノの公理は範疇的（categorical）であることがわかる。
一方で後述するペアノ算術はレーヴェンハイム＝スコーレムの定理から超準モデルをもつので範疇的ではない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/122

213: １３２人目の素数さん [] 2025/04/25(金) 20:43:39.90 ID:Cs3PUAuZ

つづき

The aim of Zermelo's paper
A non-constructivist argument for their consistency goes as follows. Define Vα for α one of the ordinals 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 as follows:
・V0 is the empty set.
・For α a successor of the form β+1, Vα is defined to be the collection of all subsets of Vβ.
・For α a limit (e.g. ω, ω·2) then Vα is defined to be the union of Vβ for β<α.
Then the axioms of Zermelo set theory are consistent because they are true in the model Vω·2. While a non-constructivist might regard this as a valid argument, a constructivist would probably not: while there are no problems with the construction of the sets up to Vω, the construction of Vω+1 is less clear because one cannot constructively define every subset of Vω. This argument can be turned into a valid proof with the addition of a single new axiom of infinity to Zermelo set theory, simply that Vω·2 exists. This is presumably not convincing for a constructivist, but it shows that the consistency of Zermelo set theory can be proved with a theory which is not very different from Zermelo theory itself, only a little more powerful.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/213

649: １３２人目の素数さん [] 2025/05/02(金) 20:37:25.90 ID:/rPcBrOx

古代ギリシャ 無理数のお話

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%83%E3%83%91%E3%82%BD%E3%82%B9
ヒッパソス
メタポンティオンのヒッパソス（ギリシア語: Ἵππασος ὁ Μεταποντῖνος, 英語: Hippasus）は、紀元前500年頃、マグナ・グラエキアに住んだとされる古代ギリシャの数学の研究者。無理数を最初に発見した人物であるという伝承が残っている。
彼については、ピタゴラス教団について述べた古い記録の中に、断片的な記述が残るのみである。また記述の内容も食い違っているため、彼の事績については曖昧なことが多い。しかし各史料に共通している点では、彼は古代ギリシャ時代において随一の数学の研究機関だったピタゴラス教団のメンバーであった。そして、教団の教義に反する無理数の研究に手を出したため、教団の粛清にあい死亡した。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hippasus
Hippasus
google訳
彼の生涯や信念についてはほとんど知られていないが、無理数の存在を発見したと言われることがある。無理数の発見はピタゴラス派にとって衝撃的だったと言われ、ヒッパソスは海で溺死したとされている。これは、彼がこれを漏らし、ピタゴラスではなく自分自身に功績を認めたことに対する神々からの罰であったと考えられている。これはピタゴラス派の社会では常識であった。しかし、この物語を記述する数少ない古代の資料では、ヒッパソスの名前には触れられていない（例えば、パップス）[ 4 ]か、ヒッパソスが球体の中に正十二面体を構築する方法を明らかにしたために溺死したと述べている。[ 5 ]古代の著述家は誰も、無理数の発見をヒッパソスに特に帰していない。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12105146997
chiebukuro.yahoo
nanao-nanacoさん
2013/4/5 ピタゴラスは、何故無理数を数と認めなかったのでしょうか。
私には、循環小数も無理数も大して違わないと思ってしまうのですが、発見した弟子を殺してしまうほど、ゆるせなかったことなんですか。

ベストアンサー
ono********さん
2013/4/7
まず、ピタゴラス学派が無理数を発見した人を弾圧したのは逸話であり、史実とは限らないと言っておきます。
その上で、読んでください。
そもそも、小数って歴史的に分数よりもずっと新しいんです。
ピタゴラス達がいた時代なんてとんでもない。小数なんてだれも口にしませんでした。
代わりにあるのは分数。当時、ピタゴラス学派は、｢全ての物の根元は数であり、数は美しいものである｣という考え方でしたから、分数で表すことのできない無理数の存在は、自分達の｢数は美しい｣という考えに対する冒涜だと感じたのではないでしょうか。

質問者からのお礼コメント
少数が新しいってのはしらなかったです！おふたりともありがとうございました。
お礼日時：2013/4/13

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/649

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