ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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778: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/03(土) 23:27:31.78 ID:hWSy8C+R

つづき

この流れを、準標準代表の場合の 1桁ずつの有限小数コーシー列で、極限が 無限小数 になることを示せば良い
そして、1桁ずつの有限小数コーシー列が 準標準代表 たり得ることは、
任意有理コーシー列において その各項で 隣り合う有理数 の 有限小数近似を作って 等価な(近似の) 標準の(小数部が1桁毎増える)有限小数コーシー列が構成できることを言えば良い
近似が適切なことは、εの調整で可能だろう

準標準代表による 1桁ずつの有限小数コーシー列を使う利点は、下記のカントール 対角線論法に直結することだ
2進の 対角線論法から、Rの濃度が2^N(Nは自然数で可算)であること 及び 非可算であることが言えるのです

再録　>>477
(実数を) 有限小数 → 無限小数（有限小数の極限）だと考えたのがカントールさん
カントールは、これで 対角線論法を 考え出したことは 有名だね（下記 en.wikipedia ご参照）
但し、10進小数でなく 2進小数だったそうな

なお、無限小数の 四則演算や極限の扱いは 思いつくであろう by ガロア。ここに記すには余白が狭い by フェルマー ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Diagonal_argument_01_svg.svg/375px-Diagonal_argument_01_svg.svg.png
An illustration of Cantor's diagonal argument (in base 2) for the existence of uncountable sets. The sequence at the bottom cannot occur anywhere in the enumeration of sequences above.

Uncountable set
Cantor considered the set T of all infinite sequences of binary digits (i.e. each digit is zero or one).[note 2] He begins with a constructive proof of the following lemma:

If s1, s2, ... , sn, ... is any enumeration of elements from T,[note 3] then an element s of T can be constructed that doesn't correspond to any sn in the enumeration.
The proof starts with an enumeration of elements from T, for example
s1 =(0,0,0,0,0,0,0,...)
s2 =(1,1,1,1,1,1,1,...)
s3 =(0,1,0,1,0,1,0,...)
s4 =(1,0,1,0,1,0,1,...)
s5 =(1,1,0,1,0,1,1,...)
s6 =(0,0,1,1,0,1,1,...)
s7 =(1,0,0,0,1,0,0,...)
...
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/778

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