ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
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316: １３２人目の素数さん [] 2025/04/28(月) 13:18:12.50 ID:heJunuWl

>>307
>変化の本質は統合にある

ありがとうございます。
下記の Terence Taoなどが提唱する 下記の「3.The “post-rigorous” stage」ですね

“rigorous”の初歩レベルから脱することができなかった
数学科１年でオチコボレさんで 詰んだ人がいます
そういう人に限って、“rigorous”だけを振り回して いばるのですｗｗｗ
それ、滑稽ですね。ご当人は 至極まじめらしいが、大笑いですｗ ；ｐ）

(参考)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(google訳)
3. 「ポスト厳密」段階。この段階では、選択した分野の厳密な基礎知識すべてに慣れ、厳密な理論によってしっかりと裏付けられた直感を用いて、その分野における厳密化以前の直感を再検討し、洗練させる準備が整っています。（例えば、この段階では、スカラー計算との類推を用いたり、無限小数やビッグオー記法などを非公式かつ半厳密な形で使用したりすることで、ベクトル計算の計算を迅速かつ正確に実行できるようになり、必要に応じて、こうした計算をすべて厳密な議論に変換できるようになります。）この段階では、応用、直感、そして「全体像」に重点が置かれます。この段階は通常、大学院後期以降に行われます。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/316

391: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/29(火) 12:24:07.50 ID:R0QaAHkm

シングルトン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88
単集合（英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。
例えば、{0} という集合は単集合である。
性質
ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {∅} は 空集合 ∅ ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も、ただ一つの集合を元（その元自身は単集合ではない）として持つ単集合である。
単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。
公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ∅ は集合になるから、A = ∅ ととって先の議論は正当化できる。
任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである）。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。
応用
位相空間論において、ある空間の全ての単集合が閉集合であることと、その空間が T1-空間であることは同値である。
単集合を台として構築される構造が、様々な圏における終対象や零対象を与えることがしばしばある。例えば、
略

https://en.wikipedia.org/wiki/Singleton_(mathematics)
Singleton (mathematics)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/391

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