ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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180: １３２人目の素数さん [] 2025/04/25(金) 17:48:32.44 ID:F4nQUPma

ホイヨ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ集合論
標準的な集合論との関連
現代のZFC公理系において、分出公理における「命題関数」とは「パラメータを含む一階の論理式で定義される任意の特徴」として解釈されるため、分出公理は公理図式で置換される。「一階の論理式」という概念はツェルメロが自身の公理系を発表した1908年には知られておらず、ツェルメロは後にこの解釈をあまりにも限定的であるとして拒絶していた。ツェルメロ集合論はふつう、分出公理のそれぞれの一階の論理式を公理図式で置換した、一階理論として捉えられる。ツェルメロ集合論を二階述語論理の理論として捉えることもでき、その場合は分出公理は単に一つの公理となる。ツェルメロ集合論の二階述語論理としての解釈はおそらくツェルメロ自身の考え方に近く、一階述語論理での解釈よりも強い

ツェルメロ集合論ではこれらの基数の存在を証明できない(基数と順序数は通常の形の定義では不具合があるため、ツェルメロ集合論においては基数を異なる形で定義する必要がある。というのも、通常の形で定義した場合、順序数 ω·2 の存在さえも証明できない)

無限公理は今日では通常、最初のフォン・ノイマン順序数
ω の存在を主張する形に変えられる。元のツェルメロ公理はこの集合の存在を証明できない。変更版のツェルメロ公理はツェルメロの無限公理を証明できない
ツェルメロの公理(元あるいは変更版)は、集合としてのVω の存在や、添字が無限である任意のランクの累積的階層集合の存在を証明できない
ツェルメロは、集合ではなく要素を持たないアトム(urelement)の存在を許容した。アトムは集合論では通常取り除かれる

マックレーン集合論
Mac Lane (1986) で導入されたマックレーン集合論は、分出公理を各量化子が有界である一階の論理式に制限したツェルメロ集合論である。 マックレーン集合論は強さとして自然数対象(英語版)のトポス理論や、プリンキピア・マテマティカのシステムに類似する。これは、集合論や論理学に直接関係しない、ほぼすべての通常の数学を行えるほどの強さである

ツェルメロの論文の目的
非構成主義者による無矛盾性の主張は以下のとおりである。以下のように、順序数 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 の1つである α に対して Vα を定義する：
・V0 は空集合である
・β+1 という形の後続順序数である α に対して、Vα を Vβ のすべての部分集合の集まりとして定義する
・極限順序数 α(例えば ω, ω·2)に対して、Vα を β<α に対する Vβ の和集合と定義する
すると、ツェルメロ集合論の公理は無矛盾になる。これらの公理はモデル Vω·2 の中で真であるためである。非構成主義者はこれを有効な主張であるとみなすかもしれないが、構成主義者はそうでないと考えるだろう
この主張は、ツェルメロ集合論に1つ新たに(単に Vω·2 が存在するという)無限公理を加えることで、有効な証明になる。これは構成主義者に対して説得力がないかもしれないが、ツェルメロ集合論の無矛盾性を元のツェルメロの理論から大きく違わず、少し強力な理論で証明できることを示している

https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory
Zermelo set theory

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/180

321: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/28(月) 15:02:32.44 ID:heJunuWl

>>319
>間違いを理解できないのではなく認めないのだということが
>理解できないことが
>理解できない

これは御大か
巡回ご苦労様です

いやね おサルさん>>7 石の強弱が分かっていない

Zermeloの >>12 0 := {}, suc(a) := {a} （後者関数定義）
で、Zermeloが自然数の定義に失敗しているとか バカなことを言ってきたけど
上島晟宏氏 神戸大学 が、>>320のように発表しているし

>>179で、『{{・・・{}・・・}}（無限重括弧）は存在しない』とかいうが
論の立て方がおかしい
Zermeloは、Zermelo流の無限公理を採用しているので、まずは そこからがスタートです
そもそも ”無限” とは >>303で 御大が ご指摘された ごとくデデキントなど（カントールも）が
ZFCの公理化のずっと前に 考察を進めていたのです

”葦（よし）の髄（ずい）から天井をのぞく”
デデキント、カントール以前にも
ガウス、コーシー、リーマン、ワイエルシュトラスらが ”無限”（の概念）を縦横につかって
数学を展開していた

その一つに、数列の収束と発散があります
　>>12より
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
つまり
・0＜1＜2＜3＜・・・ →∞
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・→{・・・{}・・・}（無限重括弧）
これを、否定することはできない！

ZermeloなりZF公理から 証明はできないかもしれないが、否定することは 絶対にできないだろう
即ち、百歩譲っても ”{・・・{}・・・}（無限重括弧）”の存在は、ZermeloなりZF公理から 独立だ

とすれば、ゲーデルの不完全性定理の示すところ
”{・・・{}・・・}（無限重括弧）”の存在を公理として認めれば それで終わり！ です （＾＾

まあ、目あり目無し の攻め合いみたいなものですねｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/321

817: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/04(日) 13:04:41.44 ID:GrLmqCpf

>>809
>”「区間縮小法」を用いる方法などがある”

5ch便所板 おミソのスレ主です
「区間縮小法」を検索すると、下記など
『この区間縮小法は解析学でよく使われる定理で,特に方程式の根を数値的に求める場合の基本原理となります.』って （＾＾

(参考)
https://math-note.com/proof-of-method-of-nested-intervals/
数学ノート
数学修士卒会社員による身の回りの数学に関する話
区間縮小法の証明（解析学 第I章 実数と連続5）
2019年9月15日

我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.今回は「区間縮小法」という重要な定理を証明します.
目次【本記事の内容】
区間縮小法と証明
定理のポイント
まとめ（実数の連続性公理）
なお,「東京大学出版　杉浦光夫著　解析入門１」を参考としております.
区間縮小法
定理（区間縮小法）有界な閉区間の列{In}n∈Nが単調減少,つまり,次を満たすとする.
以下略
定理のポイント
区間縮小法の証明には,本質的に次の事実を使いました.
有界な単調増加・減少数列は上限・下限に収束する

これは,実数の連続性公理から導かれる定理でした.無限に小さな話など,想像がつきにくくなる現象の議論には,このような数学的な定義と演繹的な議論が必要です.
この区間縮小法は解析学でよく使われる定理で,特に方程式の根を数値的に求める場合の基本原理となります.
方程式f(x)=0の根αが,an≤α≤bn,　α∈In=[an,bn]で評価できているとき,上下の数列でうまく単調減少列In⊃In+1⊃⋯が作れれば,どんどん根αの近似解が得られます.

まとめ（実数の連続性公理）
Dedekindの切断に関する実数の連続性公理から議論をスタートして,収束の定義によって今まで分かったことを次でまとめておきます.
略す

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/08/core08.pdf
2008.04.14.数学II （理系コア科目）担当：原　隆（数理学研究院）：

P8
以上の下で，実数の連続性（完備性）の公理を述べることができる．
公理2.1.4 (実数の連続性の公理 I — 収束部分列の存在)
有界な無限数列は必ず，収束する部分列を含む．つまり，有界な無限数列{an}が与えられれば，その部分列{bn}をうまくとって，{bn}が収束するようにできる．

2.1.2 実数の連続性の「公理」その２ — 有界単調列の収束
略す

2.1.3 実数の連続性の「公理」その３ — 上限・下限の存在
略す

以上３つの連続性の公理I, II, IIIが同値であることはこれから証明する．

実はこの他にも連続性の公理の表現はある．大雑把にいうと
• デデキントの切断を用いて，「実数の切断にはII型かIII型しかない」とやるもの
• 「アルキメデスの公理」＋「区間縮小法の原理」をいうもの
• 「アルキメデスの公理」＋「コーシー列は必ず収束する」とやるもの
などである．

P14
続いて「区間縮小法」について
公理2.1.11 (実数の連続性の公理 IV-区間縮小法)
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/817

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