ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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381: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/29(火) 10:14:10.29 ID:R0QaAHkm

>>359
(引用開始)
　例え方が間違ってるよ　正しい例え方はこう
> 列 {}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ を構成する各要素が集合だからといって
> その極限が集合に限る必要ない
つまり、君のいう「無限重括弧」は集合とは限らんし、実際にそう
君だけがそれを理解せず、いや集合だ！俺の直感がそういってる！俺の直感は正しい！と吠えてる
でも君の直感は正則性公理と矛盾するから、背理法で否定される
(引用終り)

ここ 正則性公理 は、大事だから 血祭りに上げるとｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
略す
以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない[1]。
・∀x ≠ ∅ に対して、∃y∈x; x ∩ y = ∅
・∀xについて、∈ が x 上 整礎関係
・V = WF
ここで、V は集合論の宇宙を指し、WF は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。
(引用終り)

上記で 二番目の”∀xについて、∈ が x 上 整礎関係”を考えよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]
(引用終り)

おサルさんは、ここの”真の無限降下列をもたないことである”を 誤読して
”無限降下列をもたない”と思い込んでいるんだろう （過去に おサルと別の数学科生との論争で おサルはコテンパンにされたよね）

つまり、自然数Nで
0<1<2<3・・・<ω （ωは極限順序数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0）
これは、無限列だが 無限上昇列であって、上記の”真の無限降下列”とは、意味が違う

0>-1>-2>-3・・・
これは、”真の無限降下列”だね
（0が空集合 <が∈ と思え）

つまり、正則性公理は ∈ による 二項関係で 空集合 ∅ より 下を禁止している ってことです
（正則性公理によって、∈ による 二項関係は 上昇列のみになり ”真の無限降下列”は 存在しえないのです）
おサルさんは、正則性公理を、盛大に誤解＆誤読していたのですｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/381

444: １３２人目の素数さん [sage] 2025/04/30(水) 12:09:25.29 ID:Q/UFadZ+

OT氏へ
γが有理数であるとする。
仮定から或る互いに素な2つの整数p、qが存在して γ＝q/p と表されるから、γの定義式
γ:＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n)) から
lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−q/p−log(n))＝0 である
しかし q/p は 57/＜q/p＜58/100 を満たす有理数だから、任意の n≧8 なる整数nに対して
1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋…＋1/n−q/p−log(n)
＞1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n)
＝1＋(1/2＋1/3＋1/6)＋(1/4＋1/5＋1/7)−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n)
＝2＋83/140−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n)＝2＋415/700−406/700＋1/8＋…＋1/n−log(n)
＝2＋9/700＋1/8＋…＋1/n−log(n)＞0
である。また、e^2＞(19/7)^2＝361/49＞7 (e^2＞729/100＞7) だから
1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−q/p−log(7)
＞1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−58/100−log(7)＝2＋9/700−log(7)＞9/700
である。任意の正の整数nに対して定義される第n項 a_n が a_n＝1＋…＋1/n−log(n) なる
実数列 {a_n} は n→+∞ のとき γ＝q/p に収束する単調減少列だから、
lim_{n→+∞}(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋…＋1/n−q/p−log(n))
≧lim_{n→+∞}(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n))
＝lim_{n→+∞}(2＋9/700＋1/8＋…＋1/n−log(n))＞0
である。よって、矛盾が生じる。この矛盾はγが有理数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、γは無理数である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/444

625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 17:09:52.29 ID:s/7BO1KV

>>603
(引用開始)
実数＝有理コーシー列の同値類
このとき、有理数もまた実数の中に埋め込む場合「有理コーシー列の同値類」とせねばならない
もちろん大したことではないが、KKKが「細けぇこたぁ、いいんだよ」といってる限り間違いつづける
(引用終り)

下記 すでに書いたことが理解できていないようだね ；ｐ）

>>554より (引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)

つまり、有理コーシー列ならば 表現の自由度が大きいから
”For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms”
を使おうってことだ

かつ、 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...) のように 最小の一桁ずつ 桁数が伸びるようにする
そうすれば、the sequence of truncated decimal expansionsで 1桁ずつの小数展開
では、表現は一通りだ

但し、99999・・・の繰上がりだけが問題になる
この場合 99999・・・の始まる直前の9で無い数を一つ繰り上げた数と同一視すれば良い
かつ、99999・・・の繰上がり問題は、有理数の集合内の問題で、無理数に対する表現とは無関係だ

だから、あなたが必死に強調している 「有理コーシー列の同値類」の問題は
1桁ずつの小数展開による コーシー列の構成（上記 en.wikipediaの通り）では、解決済みです

なお、10進は2進とか3進数にしても良い
カントールさんは、おそらく 有理数による一意化には 気づいていたのでは？
実際 下記のカントール集合では 3進数 で議論している

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
カントール集合（英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され[1][注釈 1][4][5]、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]:65。
カントールの三進集合とも呼ばれ[8]、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される[9]。

歴史的注意
カントール自身は、カントール集合を一般の抽象的手法によって定義し、三進構成は至る所疎な完全集合というより一般の概念の一例として述べたに過ぎない。原論文ではこの抽象概念の様々に異なる構成が提示されている。
この集合はカントールがそれを発案したときには既に抽象的なものと考えられていた。カントール自身は、三角級数が収束しない点全体の成す集合という実際上の懸案からカントール集合を導き出した。この発見は、カントールを無限集合に関する抽象的一般論の発展へと駆り立てるものであった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/625

866: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/05(月) 14:05:34.29 ID:Y7s/vlgi

>>857
魔法の呪文”完備化の普遍性”
”そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることによりコーシー列を得ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する”
アーメン！ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
完備化
任意の距離空間 M に対して、M を稠密部分空間として含む完備距離空間 M′（あるいは M とも書く）を構成することができる
完備化の普遍性
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。空間 M′ は等距変換の違いを除いて、この普遍性によって決まり、M の完備化と呼ばれる。
M の完備化は M 内のコーシー列のある同値類集合として構成することができる。まず M 内の任意の二つのコーシー列 (xn)n と (yn)n に対して、それらの間の距離を
d(x,y)=lim n d(xn,yn) で定める（この極限は、実数直線が完備であることから存在する）。
これは実は擬距離であって距離関数ではない（二つの相異なるコーシー列の間の距離が 0 となることがあり得る）が、「距離が 0 である」というのはコーシー列全体の成す集合上の同値関係で、これで割って得られる同値類集合は距離空間となり、これが M の完備化を与える。もともとの空間 M は各元 x に対して、x に収束するコーシー列の同値類（これはつまり各項が常に x を値に取る定値列を含む同値類である）と x とを同一視することにより、完備化へ埋め込まれる。この埋め込みが所期の通り稠密部分空間の上への等距変換を定める。ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、有理数の集合 ℚ の完備化については少し異なる扱いが必要になる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/866

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