[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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113(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/11(土)08:05 ID:TvN85EDR(1/9) AAS
>>108
>いや、有限なら有理数だからｗ
そうでした
区間[0.1]の実数rの無限2進展開は、選択公理とは別ですね
なので>>102の対角線論法の部分は、下記に修正しますね
”縦方向に並べるの行の数は、可算整列可能定理を使って 可算無限にできる
しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
省29
116(1): 01/11(土)09:33 ID:YPfTJbqJ(4/15) AAS
>>113
>なので>>102の対角線論法の部分は、下記に修正しますね
>”縦方向に並べるの行の数は、可算整列可能定理を使って 可算無限にできる
> しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
> 対角線論法による 非可算は言えない”
対角線論法は背理法であって、実数が可算であることは仮定なので何の真性保証も要らない。もちろん可算整列定理も。
と教えてあげたのに理解できないんじゃもう救い様が無いから数学はあきらめたら？
122(1): 01/11(土)10:27 ID:YPfTJbqJ(6/15) AAS
>>113
>区間[0.1]の実数rを、可算無限個取り出して並べます
>s1,s2,・・・
>ここで、可算整列可能定理を使っています
区間は[0,1)の方が整数部を考えなくて済むよｗ
「実数は可算」が対角線論法の仮定。
この仮定のもとでは、ある写像φ:N→[0,1)が存在してφは全単射。すなわち[0,1)の元をすべて並べるような[0,1)列が存在する。
省3
133(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/11(土)18:45 ID:TvN85EDR(7/9) AAS
>>130 追加
>>113の対角線論法の補足をちゃんと書いておきますね ；ｐ）
>>129より再録
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”
なので、”assuming the axiom of countable choice”を採用します
つまり、可算選択公理より、可算整列定理が従います
さて
省32
143(5): 01/11(土)21:47 ID:7/7JENEr(4/5) AAS
>>113
>しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
これが雑談の根本的な誤解。
整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。
可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
省1
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