ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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83: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/10(金) 12:11:17.66 ID:HEywEVY2

つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
従属選択公理
→詳細は「従属選択公理」を参照

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice（ACω） 可算選択公理
Applications
For instance, in order to prove that every accumulation point
x of a set
S⊆R is the limit of some sequence of elements of
S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.
When formulated for accumulation points of arbitrary metric spaces, the statement becomes equivalent to ACω.
Relation to other axioms
Weaker systems
Paul Cohen showed that ACω is not provable in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) without the axiom of choice.[6]
Equivalent forms

fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理

Par exemple, afin de prouver que tout point d'accumulation x d'un ensemble S⊆R est la limite d'une suite d'éléments de S\{x}, on a besoin (d'une forme faible) de l'axiome du choix dénombrable. Lorsqu'il est formulé pour les points d'accumulation d'espaces métriques arbitraires, l'énoncé devient équivalent à ACω3.
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。

誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。

There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X -. R with
metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/83

90: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/10(金) 14:04:39.29 ID:HEywEVY2

>>83
>従属選択公理で、実数の連続性（実数の完備性）が言えるか（フルパワー選択公理でなく）

答えは、多分Yes と思うが
適当な文献が見つからないので
下記のmathoverflowで、お茶濁すｗ ；ｐ）

(参考)
https://mathoverflow.net/questions/218874/some-axiom-of-choice-and-dependent-choice-issues
mathoverflow
Some "axiom of choice" and "dependent choice" issues
asked Sep 21, 2015 Julian Newman

I am probably about to ask some fairly basic questions, and yet I have found it quite hard to find the answers to these.

If I understand correctly, mathematicians tend to be quite happy working with ZF+DC, but other forms of choice that are not implied by DC can be more controversial.

[Therefore it seems natural that people should give higher priority to discussing the differences in provable theorems between ZFC and ZF+DC -- or at least, the differences in provable theorems between ZFC and ZF+(countable choice) -- than to discussing the differences in provable theorems between ZFC and ZF. (Indeed, you basically can't do any analysis in just ZF.)]

My questions are:

Is it consistent with ZF+DC that every subset of R
is Borel-measurable?
If the answer to Q1 is no: Is it consistent with ZF+DC that a countably generated σ
-algebra can have a cardinality strictly larger than that of the continuum?
Is it a theorem of ZF+DC that there exists an injective map from the set ω1
of well-orderings of N
into R ?
Thanks.
回答
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/90

113: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 08:05:59.40 ID:TvN85EDR

>>108
>いや、有限なら有理数だからｗ

そうでした
区間[0.1]の実数rの無限2進展開は、選択公理とは別ですね
なので>>102の対角線論法の部分は、下記に修正しますね
”縦方向に並べるの行の数は、可算整列可能定理を使って 可算無限にできる
　しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
　対角線論法による 非可算は言えない”

さて
まず、下記の”Cantor's diagonal argument”をご覧下さい
区間[0.1]の実数rを、可算無限個取り出して並べます
s1,s2,・・・
ここで、可算整列可能定理を使っています
（>>83より”可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。” を注意しておきます）

そして、対角線上の 0 or 1 をビット反転します
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
が出来ます

このsは、可算列のどれとも異なります
濃度比較定理>>97より、
区間[0.1]の実数rの集合の濃度は、非可算です

くどいが、”可算整列可能定理を使っています”！■

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument

Uncountable set
The proof starts with an enumeration of elements from T, for example

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
（対角線上の 0 or 1 をビット反転）
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/113

235: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 18:14:48.75 ID:xSRlEtRO

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>>83-84 より再録
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。
誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。
（google 仏→英 訳）
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X -. R with
metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/235

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