ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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823: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/30(木) 11:23:30.14 ID:Xxyr0Rol

>>812
>Akihiko Koga氏の証明では
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている

下記だね。見た
これ、>>807-808の Jech, Thomas の証明と類似だね

Jech, Thomas では、”we can do by induction”（超限帰納）と、
”it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A”
という 順序数αによる添え字付け手法を使っているんだ

で、君は ある証明で ある手法が使われていることをもって
証明には、その手法が”必須”だと主張する

しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない
なお、下記の Akihiko Koga の記載は参考になるね（自分の数学認識をクリアにするために）。それは認める

(参考)
www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04
集合論の学習での重要なポイント
Some Important Topics in Basic Set Theory
by Akihiko Koga
10th Sep. 2018 (Update)

選択公理からの直接の証明
[前置き]
まず，選択公理を使って，A 以外の P(A) の集合，すなわち A の真部分集合 X ⊂ A に対して，X 以外の元を 選ぶ関数 f
f : P(A) - {A} → A
f(X) ∈ A - X
を一つ決めておく．

図略す

実は，この関数を決めた段階で．A の上に一つの整列順序がすでに決まっているのである． それは，X が整列されたとしたら，その後ろに f(X) を置くという順序である．

図略す

もし，X を整列した部分に最後の元 y があれば，f(X) はその直後の元であり，y は f(X) の直前の元である．また，もし，X を整列した部分に最後の元が無い場合， つまり，... と無限に続く場合は，f(X) の直前の元はない．どちらにしても， f を決めた段階で，このように A の整列順序が１つ定まるはずである．
整列可能定理の証明は，この直観が正しいことを丁寧に示していくことになる．
[前置き終わり]

以下，上の直観的な議論を実際に証明に落としていく．

[Proof of 選択公理から整列可能定理]
任意の集合 A に整列順序を入れることができることを証明する．

実は，この証明は次の節の Zorn の補題の証明を焼き直した ものである．
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/823

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