ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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792: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/29(水) 18:13:21.64 ID:s7oLTcE3

>>778 補足
(引用開始)
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える）
(引用終り)

＜補足＞
１）かように、Aのべき集合全体(空集合抜き)の選択関数は不要
２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
３）調べると 可算集合Aを整列させるためには、従属選択公理が必要とある
（下記の独 de.wikipedia ご参照。en.wikipediaにも類似記載あり。
　即ち、”to construct a sequence using countable transfinite recursion”
　なお、Axiom of countable choice en.wikipedia は、”for every n∈N”つまり、順序数の長さでω（＝N）が限界）

(参考)
de.wikipedia.org/wiki/Axiom_der_abh%C3%A4ngigen_Auswahl
Axiom der abhängigen Auswahl
(google 英訳)
axiom of dependent choice
use
The axiom of dependent choice is a sufficient fragment of the axiom of choice to construct a sequence using countable transfinite recursion .

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
Use
The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices.

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function
A with domain  (where N denotes the set of natural numbers) such that
A(n) is a non-empty set for every
n∈N, there exists a function
f with domain N such that f(n)∈A(n)
for every n∈N.

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/792

807: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/30(木) 10:09:01.06 ID:Xxyr0Rol

>>803-805

まず >>763より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）
>> （明らかに、集合Aと同じ濃度）
>> ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
>「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない

上記の"aα=f(A-{aξ：ξ<α})"で、一対一対応が出来ている
なので、aαの集合と A-{aξ：ξ<α}の集合の濃度は等しい（ベルンシュタインの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86）

２）
>「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える

意味不明。上記”the family S of all nonempty subsets of A”
から、どうやって A-{aξ：ξ<α} たちを取り出す？
先制攻撃しておくが、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すよ
つまり、A' ⊂ S で、部分集合を構成する公理は、置換公理（or 分出公理）を使うのが基本です

３）
>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って
>書いてあるかな？

話は逆だよ。Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で
集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 聞いたんだよｗ
そして、先制攻撃しておく
上記のように、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すので
置換公理（or 分出公理）を使えば良い。集合A'は、Aと等濃度
但し、可算選択公理（列ω限定）ではなく、従属選択公理(任意可算列)が必要>>792
以上

なお、下記のen.wikipedia を引用しておく。Jech, Thomasの証明が元だ
ここで、”as desired”にご注目

公理系は、基本 やりたい数学をやれるように選ぶべし
但し、「やりたい放題」では、矛盾や脱線が起きる
ZFC公理系は、いろんな人が使って、「やりたいことやれるし、いままで 矛盾や脱線が起きてない」
そうい公理系だってことよ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/807

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