ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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760: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 20:42:19.43 ID:n4GbW2On

>>752-753
さて
　>>667より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて
その部分集合として
Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る

集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる
部分集合を作る公理は、置換公理を使う(>>667）

この 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合は
{A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、集合A と同じ濃度だ
（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応）

よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合も可算
なので、可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて
可算集合Aの整列が 可能

このJech類似の証明と 君の　>>739より
Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、
∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。
(引用終り)

を比較すると、Jech類似の証明もまた良さがある
つまり、整列可能定理とは、集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
有限集合で行うことを、任意の無限集合で実現するもの

上記の Jech類似の証明もまた 可算集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
ことをしている　”as desired”に （>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ）

君の >>739の証明では、可算Aと Nとのなにか 全単射の存在のみ言えるが
本来 整列可能定理が持っている ”as desired”に 集合Aから要素を一つずつ取り出して並べる
が、言えていない。可算選択公理を仮定しない分 そこが弱い

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/760

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