ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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666: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/27(月) 12:12:14.93 ID:CtxJncrm

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞
>>662-665
ご苦労様です

>　お主ではないが、君が書いた英文五行の中に
>　ｆが何なのか全く書いてないから尋ねたんじゃね
>　”おまえ　ｆが何なのか全く書いてないぞ”って

なるほど
では、以下に 解説をば

まず 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします）
Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
冒頭　1．Axiomls of Set Theory, Axiomns of Zerlmelo-Fraenkel で

1.3. Axiom Scbema Of Sepamtion. If P is a propety (with parameter p),
then for any X and p there exist a set Y = {u∈X : P(u,p)} that contains
all those u∈X that have property P.

1.7. Axiom Schema of Replacement. If a class F is a function, then for
any X there exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}.
（なお、Jech氏は、ここで選択公理も記載し ZFCにも触れている）

とある。これには 下記が参考になるだろう
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論

3. 分出公理（無制限の内包公理）
→詳細は「分出公理」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される
たとえば偶数は、整数
Zの合同式
x≡0(mod2) を満たす部分集合として表すことができる
一般に、集合
z の部分集合で1つの自由変項
x の式
ϕ(x) に従うものは、以下のように表現できる：
{x∈z:ϕ(x)}.
分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの
ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）。
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である

6. 置換公理
→詳細は「置換公理」を参照
置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する

厳密には、ZFCの言語で
ϕ を 自由変項
x,y,A,w1,…,wn
が含まれる任意の論理式とすると、次のように表される（ B は自由変項ではない） ：
略す
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E5%85%AC%E7%90%86
置換公理
多かれ少なかれこの公理は、ZFで証明可能な定理（たとえば集合の存在証明）や証明論的な無矛盾性の強さの点において、Zと比べて劇的にZFを強固にする。以下に重要な例を示す。
略
上記のように、順序数をすべての整列集合へ割り当てるのにも置換公理が必要である。同様に、基数を各集合に割り当てるフォン・ノイマンの割り当てには置換公理と選択公理が必要である。
(引用終り)
（ここで、置換公理は、分出公理の上位互換であることを注意しておく)
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/666

709: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 11:18:59.62 ID:C6l4Y3jA

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね
では、再度>>666-667の説明を 補足しよう

>>667より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）これで、キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ
　f 選択関数、A-{aξ：ξ<α} が、定義域（入力）の集合族で 順序数の添え字が α
　値域（出力）が aαで、Aの要素a∈Aに、順序数の添え字 α がついて aα となっている
２）そうすると、定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？
　それが、問題となる
　Jechは、”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”と記す
　以下、くだけた表現を使う
　繰り返しになるが 集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む
　そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く（これは定義です。Φは空集合）
　そして、P(A) -Φ を再度 P'と略記しよう
３）上記の Jech証明と照らすと、A-{aξ：ξ<α}  ∈ P' である
　なので、P' から  A-{aξ：ξ<α} を要素として取り出して 部分集合 を 形成することを考えると
４）やっていることは、P' から まず Aを取る
　次に Aから一つ要素が減った A-{a0} を取り
　さらに、二つ要素が減った A-{a0,a1} を取り・・と続ける
５）Jech 流の表記では、A-{aξ：ξ<α}となる
　こうして、P'の部分集合 として 集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて
　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる
　この関数は、選択公理で許される 選択関数である
　P'の部分集合 として 集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える(>>667)
　また、順序数の添え字 α による 超限帰納（or 超限再帰）も使える
６）さらに付言しておくと、集合Aから最初に どの要素を取り出して、次に どの要素を取り出して ・・・
　と続けることを考えると、集合Aの並びは 大きな自由度があり、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある
　つまり、いま A={a,b,c,d}と４つの要素からなるとすると
　最初の文字は4通り、次は3通り・・ となり 全体で4！通りになる（要素 有限nなら n！通りになる）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/709

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