ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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649: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 19:56:51.37 ID:57hfZFiX

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/

さて
『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に
Zorn's lemma を、取り上げようと思う
まず、マクラです

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研 いつもお世話になっております
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第12章 順序集合
12.3 ツォルンの補題
順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう
定理12.18 (ツォルンの補題)
空でない順序集合Xにおいて
すべての全順序部分集合が上界をもつならばにXは極大元が存在する

すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ
そうするとツォルンの補題定理はツォルン集合には極大元が存在することを主張する
証明は長いのでいくつかの段階に分割する
証明
途中略（原文ご参照）
ツォルンの補題(定理12.18)の証明の完成
・・・に矛盾する
この矛盾はXに極大元が存在しないと仮定したことから生じたので
Xには極大元が存在する■

選択公理ツォルンの補題(定理12.18)の証明に選択公理(AC2)を用いたので選択公理からツォルンの補題が導かれたと言うことができる
実は逆も正しく次の主張が成り立つ
定理12.23
選択公理とツォルンの補題は同値である

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第11章選択公理
11.2選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある大まかには選択集合を用いるか選択関数を用いるかあるいは直積集合を用いることになるがそれぞれに多少のバリエーションがあるここでは使いやすく簡潔なものを採用しよう
(AC2) Ω を空でない集合族とする
　もしΦnot∈ Ωであれば写像f：Ω→ ∪XですべてのX∈Ω に対してf(X)∈Xとなるものが存在する.
　この写像fを集合族Ωの選択関数という

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/649

655: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 23:09:21.99 ID:57hfZFiX

>>649 追加
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第12章 順序集合
12.3 ツォルンの補題
すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ
そうするとツォルンの補題定理(定理12.18)はツォルン集合には極大元が存在することを主張する
証明は長いのでいくつかの段階に分割する 3）

3）ここでは松村にしたがって集合と写像を用いた初等的な証明を紹介する
超限帰納法による証明もありそれは簡潔で直感的なのだがそのためには整列集合の理論を準備
する必要がある

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。
補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
各鎖 T について、それより真に大きな元 b(T) が存在する。なぜなら、T は上界を持ち、さらにそれより大きな元が存在するからである。関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。

この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。
順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。まず、a0 は P の元から勝手に選ぶ(これは P が空の鎖の上界を持ち、空でないことから可能である)。
他の順序数 w については、aw = b({av: v < w}) で定める。{av: v < w} は全順序であるので、この定義は正しい超限帰納法である。

en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma
Proof sketch
A sketch of the proof of Zorn's lemma follows, assuming the axiom of choice. Suppose the lemma is false. Then there exists a partially ordered set, or poset, P such that every totally ordered subset has an upper bound, and that for every element in P there is another element bigger than it. For every totally ordered subset T we may then define a bigger element b(T), because T has an upper bound, and that upper bound has a bigger element. To actually define the function b, we need to employ the axiom of choice (explicitly: let
B(T)={b∈P:∀t∈T,b≥t}, that is, the set of upper bounds for T. The axiom of choice furnishes
b:b(T)∈B(T).
Using the function b, we are going to define elements a0 < a1 < a2 < a3 < ... < aω < aω+1 <…, in P.
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/655

797: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/29(水) 22:04:56.41 ID:a/peK22S

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

>>649に引き続き 『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に
Zorn's lemma を、取り上げよう
まず、マクラの続きです
下記 Akihiko Koga さん いいね

（参考：いつもお世話になっている Akihiko Koga さん ）
www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html#TransfiniteMethod
Zorn の補題と選択公理のお話
(about Zorn's Lemma and Axiom of Choice)
by Akihiko Koga
25th Jan. 2020 (Update) 1st Aug. 2018 (First)
目次
概要
動機
選択公理とZorn の補題の内容
Zorn の補題の成分表
Zorn の補題は何に使えるのか
主な証明方法の種類
何が難しいのか(長いチェインを作る証明について）
【幕間 - 集合論の数取りゲーム -】
証明（長いチェインを作る）
同値な命題
テューキーの補題(Tukey's lemma)
ハウスドルフの極大原理(Hausdorff's maximal principle)
選択公理と類似の命題
選択公理より弱い命題
考察
ある応用における選択公理との対比(部分関数から全域関数への拡張)
Zorn の補題における選択公理の役割
ある種の構成的定義に関する妥当性
（「上の規則で作られたものだけが〇〇である」）
集合のクラス V における再帰的定義について
Zorn の補題における選択公理の役割 AGAIN
[比較的重要] 考察その２（二つの上昇原理 v.s. 一つの選択関数）
[比較的重要] 考察その３（上昇原理の考察 AGAIN．「...」の正体は？）
(2020.1.22 追加)
歴史
参考文献
手っ取り早く Zorn の補題の証明や応用などを知りたい人向けの情報
そのほか
より良い理解のために知っておいたほうが良いこと

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/797

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