ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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558: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/24(金) 07:59:06.85 ID:U1RMCmJs

>>557
>　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？

同意です
その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった
『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』
とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。
この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。
略す
(引用終り)

>　それ、論点先取
>　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから

そうかも
いま、基礎論の教科書を書いているとする
そうすると、整列可能定理の証明前に、任意集合Aが なんらかの濃度を持つという
集合の濃度の章（or 節）を、すでに書いているかどうか（書けるかどうか）
だね

>>556
>「ZFで実数は存在しない」

・ZFで、有理数のコーシー列の収束が言えて
　それらの集合の存在が言える
・それらの集合をＲと名付ける
　では、集合Ｒの性質はどうか？
・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
・ここから先、つまりリンデレーエフ空間より先
　デデキントやカントールが成したような 実数の公理を満たすところまで進むには、
　可算選択公理とのEquivalentを破る
　可算選択公理の上位の選択公理（従属選択公理DC や フルパワー選択公理AC）が必要■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/558

583: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 09:00:51.33 ID:vKwDmbNO

>>580
うーん

(引用開始)
>>557 ID:knZwyXgJ さん
>>553
> いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　それ、論点先取
　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
(引用終り)

だった
つまり、
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.

あるいは
海賊版のThomas Jechの 証明を 転記>>464
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A.

ここで
order type sup{α∣aα is defined}
と
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
とが対応して、同じ意味だと思う

いまの議論で、選択公理→整列可能定理 の証明中で
”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか？

整理すると
ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて
一方で、順序数の理論体系が出来ていれば
集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから
”order type sup{α∣aα is defined}”が言える（なにか上限があるってこと）
但し、整列可能定理を陽に使っていないこと

それ以外にも、
任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ？ （背理法）
も考えられる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/583

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