ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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553: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 21:16:44.08 ID:y/IThbaj

>>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)

>>318 より
　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど
(引用終り)

横レス すまん
ベルンシュタインの定理とか、選択公理がいるとか 要らないとか言われるが（下記 en.wikipedia）
それはとこかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem
Schröder–Bernstein theorem
Prerequisites
The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice.

On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory
IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20]

There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/553

583: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 09:00:51.33 ID:vKwDmbNO

>>580
うーん

(引用開始)
>>557 ID:knZwyXgJ さん
>>553
> いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　それ、論点先取
　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
(引用終り)

だった
つまり、
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.

あるいは
海賊版のThomas Jechの 証明を 転記>>464
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A.

ここで
order type sup{α∣aα is defined}
と
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
とが対応して、同じ意味だと思う

いまの議論で、選択公理→整列可能定理 の証明中で
”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか？

整理すると
ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて
一方で、順序数の理論体系が出来ていれば
集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから
”order type sup{α∣aα is defined}”が言える（なにか上限があるってこと）
但し、整列可能定理を陽に使っていないこと

それ以外にも、
任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ？ （背理法）
も考えられる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/583

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