ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

504: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 10:37:48.99 ID:XJPGzntw

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

>>498
(再掲)>>497より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.

という具合に、後付けで、簡単に ”注）＊” とでも やっておけば、それで済む話では？
要するに、
”the family S of all nonempty subsets of A.”は、ZFのべき集合公理から従う
Aのべき集合公理を、いつものようにP(A)と書く。P(A)は、空集合Φを含むので
the family S＝P(A)＼Φ と書ける
分出公理を使うと、Sの部分集合として
{A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・}
これから 集合族 が出来て
A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・
集合族は、順序数で添え字付けられている と考えることができる
この集合族に、選択関数を適用すれば良い

”Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.”
で大概の人は分かる

初学者向けに（君のために ；ｐ）
”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
と書けば、多少親切ってことかな ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/504

510: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 16:07:47.30 ID:XJPGzntw

>>508
(引用開始)
じゃ、fを表に出しなよ
A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…
↓
f(A),f(A∖f(A)),f((A∖f(A))∖f(A∖f(A))),…
定義域の集合族を{A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…}に制限したいらしいけど
それ中のfを全部消さないと、循環論法でアウトだから
(引用終り)

ふっふ、ほっほｗ ；ｐ）

(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)

さて、この en.wikipedia Well-ordering theorem の
Proof from axiom of choice by 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory で
ここの記載 ”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.”
が、循環論法だと？ 気は確かか？ｗ

”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”において
明らかに f 選択関数 で
定義域の集合族 A∖{aξ∣ξ<α}  これが、関数の入力で
aα が、関数 fの出力で a ∈A で
aα は aが順序数αで添え字付けできたことを表す
順序を ”defined by aα<aβ if and only if α<β”とすれば
aは、整列できたことになる
（ここ aα<a'β とでもしておく方がいいかもね ；ｐ）

で、循環論法だと？
おれに言わずに、Jech, Thomas にお手紙書いてね
返事が来たら、ここにアップしてくれｗｗ ；ｐ）
笑える おサルさんよ>>7-10 ｗｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/510

513: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 22:45:53.64 ID:2wGMe0ya

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

>>511-512
　>>508より
(引用開始)
誤　A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・
正　A(=A∖{}),A∖{a1},A∖{a1,a2},A∖{a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・
>選択関数fは
>f：集合族（定義域：入力）→ ある要素（aα：出力）
>（aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) の通りですが）
じゃ、fを表に出しなよ
A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…
↓
f(A),f(A∖f(A)),f((A∖f(A))∖f(A∖f(A))),…
定義域の集合族を{A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…}に制限したいらしいけど
それ中のfを全部消さないと、循環論法でアウトだから
(引用終り)

発狂していると思うのは私だけだろうか？

そもそも、>>504 en.wikipedia 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory
”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.”
だった

この ”A∖{aξ∣ξ<α}”内では、選択関数 f は、使われていない ；ｐ）
そこに、後から 勝手に
”じゃ、fを表に出しなよ”とか、言って
A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…
↓
f(A),f(A∖f(A)),f((A∖f(A))∖f(A∖f(A))),…
と書き換えてさｗｗｗ

もともと入っていない 選択関数 f を てめえが 勝手に書き加えて
てめえが、勝手に循環論法を作ってさ

それを、あたかも en.wikipedia 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory
が最初からそうだったように 主張しているｗ 循環論法だ？

バカも休み休みに言えだろ？
おまえ 完全にバカじゃん ｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/513

604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 19:24:01.66 ID:vKwDmbNO

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>598 補足
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)

1）このJech氏証明のキモは、集合Aから 要素を
　a0,a1,a2,・・と取り出して
　そのときの選択関数の入力の集合が
　A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって
　選択関数f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα（つまりaα= f(A∖{aξ∣ξ<α})のこと）
　と書ける
2）これは、選択公理 により、選択関数fの存在が保証されているから、許される
　ここで、要素 a0,a1,a2,・・ 達は、順序数 0,1,2,・・ による添え字付けが出来ているのです
　この順序数 添え字の 整列を使って、 a0,a1,a2,・・ 達に 整列順序が導入できている
　また、同時に 要素 a0,a1,a2,・・ の整列も得られている
　これぞ、選択公理→整列可能定理の証明だ ってこと
3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

では、Aの冪集合P(A)の整列で 同じことをやると
P(A)で”sup{α∣aα is defined}”の相当する部分が
どうなるかが問題となる

同じように考えると、P(A)の冪集合P(P(A))を考えるべしとなって
繰返しが起きる。これはまずい

集合Aの整列順序のために、べき集合P(A)の整列順序を考えるべき
そうすると、そのまた冪集合P(P(A))を考えるべき・・
と無限後退してしまう
それ、面白すぎじゃね？

だから、A自身の整列可能性と Aの冪集合P(A)の整列可能性は、切り離すのが良さそうだね
そういう結論ですなｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/604

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう

1）
　>>486より 再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

2）
また
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
つまり、関数で書くと
・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα

"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
妄想沸いてるよ ｗ ；ｐ）
定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/631

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.036s