ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

385: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 10:36:55.76 ID:yCcyDMub

>>370-371
ご苦労さまです
公開処刑は、一人でも継続するつもりだった ；ｐ）

それは >>15より 前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？
(引用終り)

この”ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？”は、興味があって
公開処刑は、そのついで です

>可算選択公理からの連想であろう

ID:Jha5BKz+ は、御大か
巡回ご苦労さまです

連想というか、下記に”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
とあるので、各種選択公理の強さ（パワー）は、形成できる列の長さで測れるということですね
なお、下記の”>>102 より”の再掲ご参照

>>102 より
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
　要するに
　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
　従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
　有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

これについては、>>143の ID:7/7JENEr氏から鋭い指摘がありました
即ち『可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
可算選択公理は従わない。』だと

”（これは自明）”の部分以外は、首肯できます
（多分 有限集合の場合自明 の意でしょう）
細かい点は、上記の『追加の注）』を 見てたもれ ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/385

480: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 17:01:10.69 ID:7RKCNKc8

>>472 追加
　>>385より再録
要するに
・選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
・従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
・可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
・有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

さて、繰り返すが
フルパワー選択公理より弱い 選択公理の変種がいろいろ あります
選択公理の変種のパワーは、形成できる列の長さで測れる。すなわち
有限選択定理(有限列) ＜ 可算選択公理ACω(列ωまで) ＜ 従属選択公理DC(列 可算無限ω以上だが制限あり) ＜ 選択公理(列 無制限)

また、下記 Horst Herrlich にあるように
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
と ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
とが、Equivalent
A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列ωの構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと>>385
(”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”ぼ正確な定義が不明だが、最弱の可算選択公理(可算無限ωに制限) を、
　さらに ”for countable collections of subsets of R.”に制限している )
なので
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　↓↑
”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
証明は、文献 [15], [29], [30]にあるらしい ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/480

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.031s