ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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320: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/15(水) 23:39:55.82 ID:HSrNcrvS

つづき

これを、院試の問題と考えて、採点すると
1）P：選択公理⇒Q：整列定理 で
　選択公理と整列定理とを、証明に使えるステートメントに落とし込まないと行けないところが
　これをすっぽかし、証明の頭出しと、最後がスッキリしない 印象の悪い答案になった
（選択公理と整列定理のステートメントを、ビシと正確に書くと、採点者に好印象だろう）
2）いまは、数学的ステートメントは略して 日常語で書く
　P：選択公理 『空でない集合族から要素を一つ取り出す選択関数が存在する』
　Q：整列定理 『任意の集合Aから要素を一つずつ取り出して、整列できる』(Aは、>>310で使われているので合わせた)
　ということね
3）つまり、P：選択公理⇒Q：整列定理の証明で
　任意の集合Aから 空でない集合族を作って そこから 一つずつ要素を取り出す
　ここが、一番のポイントです
4）そういう目で、>>310の wikipedia Well-ordering theorem の証明を見ると
　A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしているんだね
　”∖{aξ∣ξ<α}”の部分は、{aξ∣ξ<α}を除く意味（＝”∖”）だね
　{aξ∣ξ<α}の部分が、既に取り出して、並べた（順序を与えた）部分だな
　よって、これで集合族が出来て
　aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})の fが選択関数です
5）最後の方で、”α<β 　(in the usual well-order of the ordinals)”などと、軽く流している
　要するに、取り出して、並べた（順序を与えた）部分は、通常の順序数と一対応がつくんだよと
　軽く流している。順序を グダグダ言わないの！！
6）さて、この視点で、上記の証明を再度見ると
　・証明の2行目からが、整列をグダグダ書きすぎ。ここ ”(in the usual well-order of the ordinals)”と、軽く流すべし
　・証明すべきステートメントの数学的表現が無い
　　P：選択公理⇒Q：整列定理 が 明確でない
　（つまり、証明のスタートとゴールが不明確！）
　・証明の1行目のみが、スタートの選択公理について述べているが
　　その後 整列させるべき 集合Aからの 選択関数fが使える集合族を作る方に意識が行かずに
　　自明の整列の証明に走ってしまった
　・なので、まあ採点は10点満点で 1か0点か？ 整列の 二項関係 とか グダグダ書いたから お駄賃の1点あるかないかでしょ
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/320

404: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 18:45:07.01 ID:yCcyDMub

>>310より再録と補足
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be
A, and let
f be a choice function for the family of non-empty subsets of
A. For every ordinal (number) α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering
(or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

1）さて  海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします）
Set Theory
T Jech 著 · 1997 ·  The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）

2）ここで、選択関数を書き直すと
　f： A∖{aξ∣ξ<α} → A∖{aξ∣ξ<α} となる
　>>320に記したように、選択公理の A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしている
　集合 A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は、元の集合A以下だ（∵ Aより ∖{aξ∣ξ<α} の分だけ減少している）

3）繰り返すが 集合族 として Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} と書き直すと
　∖{aξ∣ξ<α}によって、集合 Aの元 aξ をどんどん減らして 最後空になるまで続けるのだから
　順序数 ξを集めた 集合も その濃度は Aを越えない

4）よって 再度強調するが、いま 上記 選択公理→整列可能定理の証明で扱うとき
　集合族における 各集合 Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は 元の Aを越えない

なので、>>390に引用した ”定理　選択公理⇒整列定理”の
『Xの任意の空でない部分集合Y』を考えて べき集合2^X を考える必要は 多分全くｗｗ 無くｗｗｗ
上記 Jech, Thomas の 証明においては、全く不要であって　過剰であると 言える！■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/404

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