[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/

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318: １３２人目の素数さん [] 2025/01/15(水) 20:44:25.52 ID:Cmnz2SCH >>316 > オリジナルだよ 　なるほど・・・ > 確かにへんだね > なんでダメだったか見直してみるよ 　いい証明ができたら、教えてくれ 　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ 　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから 　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/318

327: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/16(木) 10:07:33.76 ID:6RwEALUm >>324-326 >つまらない問答 ID:LrNj7Iv2 は、御大か 朝の巡回ご苦労様です 　>>325の口頭試問が ほとんどヤクザの因縁に近いって意味ですね （＾＾ しかし、院試の口頭試問でなく、学生同士の自主ゼミの問答ならば 首肯できます 　>>324 >君が本当に流しちゃって誤魔化した部分を、口頭試問の教授として質問してあげるよ >　「A∖{aξ∣ξ<α} が空となれば完結する、ということだと思うけど >　　そのようなξが存在する、という保証は？」 　>>310にアップした wikipedia の証明の最後 ”a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.”が、 ”そのようなξが存在する、という保証”だね ここは、君が >>318で言及した 『なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから 　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど』 と関連しているよ それから、”as desired”（お望み通りの）にも注目してくれ 要するに”すきに並べて良いぞ”ってことです さらに言えば、整列可能定理の並びは、抽象的であってもいい しかし、具体的であることを妨げないってことね （＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/327

544: １３２人目の素数さん [] 2025/01/23(木) 16:23:56.33 ID:F2cs9bbp >>318 >いい証明ができたら、教えてくれ いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる Xを集合とする。 Xの任意の空でない部分集合Yをその元yに対応させる写像 φ(Y)=y の存在が選択公理により保証される。 写像 ψ:2^X→2^X を ψ({}):={},Y≠{}⇒ψ(Y):={φ(Y)} で定義する。 Cを順序数全体のクラスとする。 写像 g:C→2^X を g(λ)=X-∪[n∈λ]ψ(g(n)) で定義する。定義より ∀n,m∈C.n≧m⇒g(n)⊂g(m)。 いま A:=∩[λ∈C]g(λ)≠{} を仮定。仮定より ∃λ∈C.g(λ)=A。 gの定義より ¬(φ(A)∈g(λ+1)) だから ¬(A⊂g(λ+1)) だが、これはAの定義と矛盾する。よって A={}。よって ∃λ∈C.g(λ)={} 順序数Λを Λ:=min{λ∈C|g(λ)={}} で定義する。 写像 f:Λ→X を f(λ):=φ(g(λ)) で定義する。 このとき ∀n,m∈Λ.n≠m⇒f(n)≠f(m) だからfは単射。Λの定義よりfは全射。よってfは全単射。 順序関係(X,≦)を ∀n,m∈Λ.n≦m⇔f(n)≦f(m) で定義する。定義から(X,≦)は全順序。 Xの任意の空でない部分集合Yに(X,≦)に関する最小元f(minf^(-1)(Y))が存在するから(X,≦)は整列順序。■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/544

545: １３２人目の素数さん [] 2025/01/23(木) 16:32:08.46 ID:F2cs9bbp >>318 >なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから うん、俺もその辺だいぶ悩んだ 自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/545

553: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/23(木) 21:16:44.08 ID:y/IThbaj >>545 (引用開始) >>318 >なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから うん、俺もその辺だいぶ悩んだ 自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん (引用終り) 　>>318 より 　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ 　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから 　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど (引用終り) 横レス すまん ベルンシュタインの定理とか、選択公理がいるとか 要らないとか言われるが（下記 en.wikipedia） それはとこかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね） そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？ (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem Schröder–Bernstein theorem Prerequisites The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice. On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20] There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21] https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/553

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