ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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235: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 18:14:48.75 ID:xSRlEtRO

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>>83-84 より再録
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。
誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。
（google 仏→英 訳）
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X -. R with
metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/235

239: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 19:08:04.14 ID:xSRlEtRO

>>235-236より

1）可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えることと
　上記 fr.wikipedia 可算選択公理における下記の記述とは、矛盾しない と思う
”Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.”

2）つまり、可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えるとして
　その上で、可算選択公理を認めると
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
”4. each subspace of R is separable,”
”5. R is a Lindel¨ of space,”
　成立！

3）というか、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　と、Equivalent である！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/239

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