ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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21: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/06(月) 06:55:39.27 ID:/T0OAwM4

>>19
　>>15-16 より
従属選択公理
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice;
DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である
使用例
このような公理が無いとしても、各 nについて普通の帰納法によって最初の n項を有限列としてとることはできる。
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]

可算選択公理
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。
例えば集積点が極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する
S∖{x}の数列が存在する」という命題を証明したい場合にはACωを用いれば十分である。
(引用終り)

＜まとめ＞
1）有限では、『このような公理が無いとしても、各 nについて普通の帰納法によって最初の n項を有限列としてとることはできる』
　つまりは、無限列の構成には、なんらかの公理が必要
2）可算選択公理があれば、『実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い』
　『例えば集積点が極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する
S∖{x}の数列が存在する」という命題を証明したい場合にはACωを用いれば十分である』
3）『従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである』
　『従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である』

結論
・無限列の構成には、なんらかの公理が必要
・最低限 可算選択公理、望ましくは 従属選択公理が ほしい
・そうすれば、可算無限列が取れる
・『集積点が極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する
S∖{x}の数列が存在する」という命題を証明したい場合にはACωを用いれば十分である』
・『実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い』が
・『従属選択公理(英語: axiom of dependent choice;DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である』

以上により、
Ｑ：つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？
Ａ：ZFに 可算選択公理、望ましくは 従属選択公理を含んでいる必要がある
　補足：有限では、『このような公理が無いとしても、各 nについて普通の帰納法によって最初の n項を有限列としてとることはできる』が、それで終り■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/21

82: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/10(金) 12:10:50.21 ID:HEywEVY2

>>19
>(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか

これに戻る
１）まず、”ZF上で実数は定義不可能”か？ について
　”実数”の意味を明確にしておく必要があるが、それを カントールの集合論における”実数”と規定する
　つまり、下記に出てくる 実数の連続性（実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも）を、備えたものとする
２）そうすると、下記 いろいろ辿ると ”Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich”(1997)
　にたどり着いて、Equivalent are:
　"1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, "
　"5. R is a Lindel¨ of space, "
　"9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R."
　"Equivalent are: "
　だと。つまり、"the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R."でも
　" in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, "
　"R is a Lindel¨ of space, "
　までしか言えない、これが限界 （”Lindel¨ of”リンデレーエフは、下記ご参照）
３）ということは、"the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R."を否定してしまうと
　”実数”の連続性（実数の完備性）どころか、Lindelöfさえいえない。”in R, a point x”と”iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, ”
　との関係も言えない

結論：(ZFCではなく)ZF上で実数の定義では、カントールの集合論の”実数”には、到達しない
可算選択公理でさえ、R is a Lindel や in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
これが限界です
従属選択公理で、実数の連続性（実数の完備性）が言えるか（フルパワー選択公理でなく）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Independence
Many theorems provable using choice are of an elegant general character: the cardinalities of any two sets are comparable

Statements implying the negation of AC
There are models of Zermelo-Fraenkel set theory in which the axiom of choice is false.
As any model of ZF¬C is also a model of ZF, it is the case that for each of the following statements, there exists a model of ZF in which that statement is true.
・There is a function f from the real numbers to the real numbers such that f is not continuous at a, but f is sequentially continuous at a, i.e., for any sequence {xn} converging to a, limn f(xn)=f(a).
・The real numbers are a countable union of countable sets.[39] This does not imply that the real numbers are countable: As pointed out above, to show that a countable union of countable sets is itself countable requires the Axiom of countable choice.
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/82

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