[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/

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148: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 08:59:00.29 ID:gsEji7DN >>145 追加 下記は、選択公理→整列可能定理 の証明です 見てのとおり、可算だ非可算だのの制限は、一切なし 証明のポイントは、 ”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) ” の部分です。aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})の部分が、選択公理における選択関数を成す A∖{aξ∣ξ<α}が集合族で、選択関数の定義域ですね フルパワー選択公理は、集合族が非可算あっても良い しかし、可算選択公理は、集合族が可算であるので、出来あがる選択された元たちは可算で 可算の整列可能定理になります なお 可算の整列可能定理→可算選択公理 については、前記の”整列可能定理→選択公理” の証明を参考にすれば、容易でしょう (参考) en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem 整列可能定理 Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/148

319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/15(水) 23:39:28.03 ID:HSrNcrvS >>310 検索すると 　>>148 (>>146-147もご参照) にあるね 補足 ・>>146で『整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！ 　英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した』 　と書いたけど ・このときに、選択公理→整列可能定理について、 　中国版とイタリア版も見て、殆ど同じだと見ていたんだ （＾＾ さて、 >>313-315のご指摘にも 書かれているが 『一つずつ元が減っていくという関係で （部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを 最初の集合として、一列に並ぶ。 このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている という仕組み。』 『fがあれば 「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合） のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも すっきり示される形になっている。』 これがキモですよね で、>>292より 再録 定理　選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/319

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