ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 18:45:46.47 ID:TvN85EDR

>>130 追加

>>113の対角線論法の補足をちゃんと書いておきますね ；ｐ）

>>129より再録
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”

なので、”assuming the axiom of countable choice”を採用します
つまり、可算選択公理より、可算整列定理が従います

さて
命題：実数Rは、非可算濃度である
まず
区間[0.1]の実数rの無限2進展開を考えよう
いま、無限2進展開で、0.1111・・・などは、1に等しいと扱う。他も同じとする

その上で、区間[0.1]の実数rは、無限2進展開で表されることを、認めるとする
補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である
(cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
証明：
背理法による
集合Tが、可算であるとする
可算選択公理より、可算整列定理が従うので、T要素を(可算)整列させて
それら全てについて、自然数による付番が可能である

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
ここで、対角線上の 0 or 1 をビット反転させると
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
ができる。これは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なる

さてsは、区間[0.1]の無限2進展開の数であるから
s ∈ Tである
一方、背理法の仮定より、Tの元は全て整列させてある（可算整列定理使用）
ところが
上述の通り sは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なるので
s not∈ T である
矛盾が生じたので、背理法により、補題が成立
区間[0.1]の実数の集合が、非可算であることが証明されたので
命題：実数Rは、非可算濃度である も成立■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/133

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 13:37:18.41 ID:gsEji7DN

>>174
>x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。
>ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。
>雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）

いやいやｗｗ ；ｐ）
おっさんな

>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の
”Proof of axiom of choice”などで

（中国版より（英語版でも同様））
『×に整列関係Rがある。
それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。
これにより、目的の選択関数が得られます』

つまり、目的の選択関数は
関係Rに依存する（各集合族で 関係R による 最小元を使う）

そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合（非可算でも）から
一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で

従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び
三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・
などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること

ここは、理解できていますか？
これが 理解できていれば、選択関数は
整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と

つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが
（例え その一部分の場合も含めて）
具体的であることを妨げないのです

えーと、　>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

ここで、
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)＝0
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)＝1
ですねｗｗ ；ｐ）

「だれが、こんな勝手なことやっているのか！？」と怒ってもｗ
それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/176

184: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 18:43:55.15 ID:gsEji7DN

>>183
レスありがとうございます

>>179
>>”T値列は任意でよい”は、言えない
>じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。

だから、その主張のためには 可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です
つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの 全単射（一対応）の存在が言えます

繰り返すが、下記 ”可算集合の 定義：
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。
すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。”

については、反対はしない
しかし、”可算集合 定義”からは、全単射が一つ存在しさえすれば良い だけです

なので >>133 背理法で 『区間[0.1]の実数の集合Tは、可算である』としただけでは
自然数Nと 集合T との全単射は、抽象的存在であって、一つ存在しさえすれば良い だけだから

そうすると、ある人が 対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに
それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです

その証明をする代わりに、可算選択公理を仮定すれば良いのです
そうすると、繰り返すが 可算整列（可能）定理が使えることになり
『集合Tは、可算である』と宣言した瞬間に、
人はかなり自由に Nと集合Tとの全単射 ができます
即ち、集合Tを整列しさえすれば良い

逆に、可算選択公理を仮定しない場合には、
対角線論法のために作った縦の整列が
果たして ”可算集合 定義”の 全単射となっているか？ の証明が
別途必要になるってことです！ｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
可算集合
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/184

196: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 20:11:59.08 ID:gsEji7DN

>>190
>NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。
>仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。

ふっふ、ほっほ
その f(0),f(1),・・・  と

>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

この s1,s2,s3 ・・・が
f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ

しかし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を使えば
s1,s2,s3 ・・・が、整列順序であることが言えて
集合Tが、可算であるとの仮定より
s1,s2,s3 ・・・が、可算の整列順序であります

そこに、上記の対角線に沿って、ビット反転をして
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...) が できるが
s not ∈T であります

つまり、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理により
全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていることが、
保証されているからこそ

『s not ∈T 』がいえて
一方、sが 区間[0.1]の無限2進展開の数であるから s ∈ Tであって
それゆえ、矛盾であることが言えて
背理法成立となるわけです！！

もし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を用いなければ
”全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていること”について
つまり 『s not ∈T 』の明言の 数学的厳密性に
疑義の余地ができてしまう のです■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/196

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