ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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129: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 17:35:08.29 ID:TvN85EDR

>>120-128
ふっふ、ほっほ
出かけていました

5ｃｈ便所板らしいなぁ〜ｗ

アホとバカが大きな顔をして
自分たちはバカですと、騒ぐ

数学の情報は、英語が日本語の十倍という人がいる
いまの場合も、該当するよなｗ

下記で
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”
google訳
”可算選択公理を前提とすると、集合の濃度（集合の要素の数）が自然数の濃度より大きくない場合、その集合は可算です。有限でない可算集合は可算無限であると言われます。”

これ
百回音読してね ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
Countable set
In mathematics, a set is countable if either it is finite or it can be made in one to one correspondence with the set of natural numbers.[a] Equivalently, a set is countable if there exists an injective function from it into the natural numbers; this means that each element in the set may be associated to a unique natural number, or that the elements of the set can be counted one at a time, although the counting may never finish due to an infinite number of elements.

In more technical terms, assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.
A countable set that is not finite is said to be countably infinite.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/129

133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 18:45:46.47 ID:TvN85EDR

>>130 追加

>>113の対角線論法の補足をちゃんと書いておきますね ；ｐ）

>>129より再録
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”

なので、”assuming the axiom of countable choice”を採用します
つまり、可算選択公理より、可算整列定理が従います

さて
命題：実数Rは、非可算濃度である
まず
区間[0.1]の実数rの無限2進展開を考えよう
いま、無限2進展開で、0.1111・・・などは、1に等しいと扱う。他も同じとする

その上で、区間[0.1]の実数rは、無限2進展開で表されることを、認めるとする
補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である
(cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
証明：
背理法による
集合Tが、可算であるとする
可算選択公理より、可算整列定理が従うので、T要素を(可算)整列させて
それら全てについて、自然数による付番が可能である

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
ここで、対角線上の 0 or 1 をビット反転させると
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
ができる。これは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なる

さてsは、区間[0.1]の無限2進展開の数であるから
s ∈ Tである
一方、背理法の仮定より、Tの元は全て整列させてある（可算整列定理使用）
ところが
上述の通り sは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なるので
s not∈ T である
矛盾が生じたので、背理法により、補題が成立
区間[0.1]の実数の集合が、非可算であることが証明されたので
命題：実数Rは、非可算濃度である も成立■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/133

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