ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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102: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/10(金) 21:18:23.05 ID:NmRCi1sD

>>99-101
(引用開始)
対角線論法は、可算整列ができないと
使えないのでは？
選択公理 vs 整列可能定理
と同様に
可算選択公理 vs 可算整列可能定理
となると思うが
(引用終り)

まず、先へ進もうねｗ ；ｐ）

1）下記の 従属選択公理で ”他の公理との関連：
　従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
　従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。
　認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
　これを百回音読してね
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
　要するに
　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
　従属選択公理(可算無限以上だが制限あり) ←→  従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上制限あり)
　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→  可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限)
　有限選択定理(有限に制限) ←→  有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
3）”equivalent”に注目しよう
　例えば、下記の 選択公理 ←→ 整列可能定理 の証明を、そのまま使えば
　各対応する 選択公理 vs 整列可能 の ”equivalent”の証明になる
4）その上で、可算整列可能定理について これを認めれば、可算選択公理が導かれる
　なので、可算選択公理を否定するならば、可算整列可能定理も否定されて、
　勝手に 可算長の列は 作れない

さて、対角線論法において、2進展開(0と1)で 上記の通り 横に展開する列の長さが有限ならば
縦方向の行の数の数 即ち 対角線論法の数も有限になるべし
だから 可算選択公理を否定しては、対角線論法が成り立たない

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice;
DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]

形式的な言明
R on X 上の二項関係
R が全域関係であるとは任意の
a∈X, に対してある
b∈X が存在して
aR b が成り立つことである。

従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係
R に対して、列 (xn) n∈N を全ての
n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる。
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。
(これを見るには、x0 から始められる R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)
上での集合 X を実数全体の集合に制限したものを DCR で表す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/102

113: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 08:05:59.40 ID:TvN85EDR

>>108
>いや、有限なら有理数だからｗ

そうでした
区間[0.1]の実数rの無限2進展開は、選択公理とは別ですね
なので>>102の対角線論法の部分は、下記に修正しますね
”縦方向に並べるの行の数は、可算整列可能定理を使って 可算無限にできる
　しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
　対角線論法による 非可算は言えない”

さて
まず、下記の”Cantor's diagonal argument”をご覧下さい
区間[0.1]の実数rを、可算無限個取り出して並べます
s1,s2,・・・
ここで、可算整列可能定理を使っています
（>>83より”可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。” を注意しておきます）

そして、対角線上の 0 or 1 をビット反転します
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
が出来ます

このsは、可算列のどれとも異なります
濃度比較定理>>97より、
区間[0.1]の実数rの集合の濃度は、非可算です

くどいが、”可算整列可能定理を使っています”！■

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument

Uncountable set
The proof starts with an enumeration of elements from T, for example

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
（対角線上の 0 or 1 をビット反転）
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/113

385: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 10:36:55.76 ID:yCcyDMub

>>370-371
ご苦労さまです
公開処刑は、一人でも継続するつもりだった ；ｐ）

それは >>15より 前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？
(引用終り)

この”ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？”は、興味があって
公開処刑は、そのついで です

>可算選択公理からの連想であろう

ID:Jha5BKz+ は、御大か
巡回ご苦労さまです

連想というか、下記に”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
とあるので、各種選択公理の強さ（パワー）は、形成できる列の長さで測れるということですね
なお、下記の”>>102 より”の再掲ご参照

>>102 より
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
　要するに
　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
　従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
　有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

これについては、>>143の ID:7/7JENEr氏から鋭い指摘がありました
即ち『可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
可算選択公理は従わない。』だと

”（これは自明）”の部分以外は、首肯できます
（多分 有限集合の場合自明 の意でしょう）
細かい点は、上記の『追加の注）』を 見てたもれ ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/385

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