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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002レス)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
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778: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/29(水) 14:53:40.29 ID:s7oLTcE3 >>764-770 >「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ >ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要 選択関数と 普通の関数の区別分かっている? en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set. Formally, this may be expressed as follows: ∀X[Φ not∈ X⟹∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A) ] ここは式が複雑なので原文を見るのが良いが、”f(A)∈A”が一番の要点、つまり 集合族の全てのAに対して f(A)=a ∈A が成立しているということ f(A) が、選択関数で fが選択関数だ f(Ai)のようにAに添え字iを付けた方が分かり易い (iは可算(自然数など)とは限らないが) ”∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)”なので f;X→Ai→ai∈Ai のように、→が2段になっている(なので{ai}は、Xの部分集合ではない) 下記の 尾畑研 f:R→R では、y=f(x)でx→y もっと書けば、順序対(x,y) で "公理論的集合論と写像" の如く、"直積集合の部分集合X x Y"だという www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf 尾畑研 東北大 2018 第4章写像 公理論的集合論の立場では、考える対象はすべて集合であるから写像もまた集合として導入される 直積集合の部分集合X x Yで定理4.1 (ii)に述べた性質をもつものを写像の定義とする 必要に応じて対応としての写像f:X→Yを導入すればよい これを踏まえて >>763 Thomas Jech To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα:α<θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ:ξ<α}) if A-{aξ:ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,(aα:α< θ) enumerates A■ ここで、Sが我々の考えているP'=P(A)-{Φ}だとして 集合族 A-{aξ:ξ<α} ∈S で A-{aξ:ξ<α} を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ:ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 (明らかに、集合Aと同じ濃度) だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要(置換公理が使える) さらに、下記の包含関係が成立している A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ:ξ<α}⊃・・ だから、順序数の添え字付けも、この点からも首肯できる その上で、Jech氏証明の 選択関数 f:A-{aξ:ξ<α} → aα この関数は、A-{aξ:ξ<α} が集合族で定義域で 関数値の aαは、上記 包含関係の列の 前後の項の差分 だと思えば良い http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/778
779: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/29(水) 14:59:08.16 ID:s7oLTcE3 >>778 タイポ訂正 f(A) が、選択関数で fが選択関数だ ↓ f(A) の fが選択関数だ かな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/779
783: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/29(水) 15:30:00.93 ID:s7oLTcE3 >>773 ご苦労さんw なんか、大学初年生に諭している気分だなw ;p) 1)証明は、君が独り言ちたように、一つではない ”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”>>766 って それ あったかな?w 2)いや、「Aの空でない部分集合」を考えるのは良いよ そして、個人として 「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」を考えるのも君の勝手だ 3)だが、”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要” と言い出すと、話は別だよ 4)「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、>>778に示した(それは いままでも。何度もね) なんか、大学初年生に諭している気分だなw ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/783
784: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/29(水) 15:35:35.99 ID:s7oLTcE3 ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” < あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない> 血の巡りの悪い人がいるね >>781 >>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ:ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 >>(明らかに、集合Aと同じ濃度) >>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要 >大間違い。 >a0:=f(A) つまり選択関数fは必要。 アホさる>>7-10 の強弁、無様 必死の論点ずらしだ 笑えるな 30年前 数学科修士まで学び あれから30年経った(薹(とう)の立った)男のザマがこれか? あんた、数学の才能ないねw ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/784
792: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/29(水) 18:13:21.64 ID:s7oLTcE3 >>778 補足 (引用開始) 集合族 A-{aξ:ξ<α} ∈S で A-{aξ:ξ<α} を 下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ:ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 (明らかに、集合Aと同じ濃度) だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要(置換公理が使える) (引用終り) <補足> 1)かように、Aのべき集合全体(空集合抜き)の選択関数は不要 2)Aと同じ順序数(超限帰納)の選択関数で間に合うことを指摘しておく 3)調べると 可算集合Aを整列させるためには、従属選択公理が必要とある (下記の独 de.wikipedia ご参照。en.wikipediaにも類似記載あり。 即ち、”to construct a sequence using countable transfinite recursion” なお、Axiom of countable choice en.wikipedia は、”for every n∈N”つまり、順序数の長さでω(=N)が限界) (参考) de.wikipedia.org/wiki/Axiom_der_abh%C3%A4ngigen_Auswahl Axiom der abhängigen Auswahl (google 英訳) axiom of dependent choice use The axiom of dependent choice is a sufficient fragment of the axiom of choice to construct a sequence using countable transfinite recursion . en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice Axiom of dependent choice Use The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices. en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice Axiom of countable choice The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function A with domain (where N denotes the set of natural numbers) such that A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N. ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/792
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