ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 08:34:01.29 ID:gsEji7DN

>>142-144
>整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
>連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。

やれやれ
証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ）
下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！
英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した
百回音読してね

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof of axiom of choice
The axiom of choice can be proven from the well-ordering theorem as follows.
To make a choice function for a collection of non-empty sets,
E, take the union of the sets in
E and call it X.
There exists a well-ordering of
X; let R be such an ordering. The function that to each set S of E
associates the smallest element of S, as ordered by (the restriction to S of) R, is a choice function for the collection E.■
An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of
R; applying the well-ordering theorem to each member S of E separately would not work, since the theorem only asserts the existence of a well-ordering, and choosing for each S a well-ordering would require just as many choices as simply choosing an element from each S.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/146

148: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 08:59:00.29 ID:gsEji7DN

>>145 追加

下記は、選択公理→整列可能定理 の証明です
見てのとおり、可算だ非可算だのの制限は、一切なし

証明のポイントは、
”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) ”
の部分です。aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})の部分が、選択公理における選択関数を成す
A∖{aξ∣ξ<α}が集合族で、選択関数の定義域ですね

フルパワー選択公理は、集合族が非可算あっても良い
しかし、可算選択公理は、集合族が可算であるので、出来あがる選択された元たちは可算で
可算の整列可能定理になります

なお
可算の整列可能定理→可算選択公理
については、前記の”整列可能定理→選択公理”
の証明を参考にすれば、容易でしょう

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem 整列可能定理
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]

Let the set we are trying to well-order be
A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type
sup{α∣aα is defined}.■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/148

155: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 09:49:16.30 ID:gsEji7DN

>>143
>可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
>可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
>可算選択公理は従わない。

さて、”可算集合の整列可能性（これは自明）”について
これ、下記 整列集合→ Well-order → Well-ordering principle と辿ると
”the set of natural numbers”の ” Well-ordering principle ”と混同してない？
確かに、下記に 整列原理の英文証明があるけど、あくまで 自然数N のことでしょ？ ；ｐ）

『可算集合の整列可能性（これは自明）』は、見つからないよ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
導入
自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である

en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
In mathematics, a well-order (or well-ordering or well-order relation) on a set S is a total ordering on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering.
The observation that the natural numbers are well ordered by the usual less-than relation is commonly called the well-ordering principle (for natural numbers).

en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle
Well-ordering principle
In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty subset of nonnegative integers contains a least element.[1]
Properties
Depending on the framework in which the natural numbers are introduced, this (second-order) property of the set of natural numbers is either an axiom or a provable theorem.
For example:
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/155

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 13:37:18.41 ID:gsEji7DN

>>174
>x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。
>ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。
>雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）

いやいやｗｗ ；ｐ）
おっさんな

>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の
”Proof of axiom of choice”などで

（中国版より（英語版でも同様））
『×に整列関係Rがある。
それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。
これにより、目的の選択関数が得られます』

つまり、目的の選択関数は
関係Rに依存する（各集合族で 関係R による 最小元を使う）

そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合（非可算でも）から
一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で

従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び
三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・
などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること

ここは、理解できていますか？
これが 理解できていれば、選択関数は
整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と

つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが
（例え その一部分の場合も含めて）
具体的であることを妨げないのです

えーと、　>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

ここで、
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)＝0
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)＝1
ですねｗｗ ；ｐ）

「だれが、こんな勝手なことやっているのか！？」と怒ってもｗ
それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/176

184: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 18:43:55.15 ID:gsEji7DN

>>183
レスありがとうございます

>>179
>>”T値列は任意でよい”は、言えない
>じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。

だから、その主張のためには 可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です
つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの 全単射（一対応）の存在が言えます

繰り返すが、下記 ”可算集合の 定義：
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。
すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。”

については、反対はしない
しかし、”可算集合 定義”からは、全単射が一つ存在しさえすれば良い だけです

なので >>133 背理法で 『区間[0.1]の実数の集合Tは、可算である』としただけでは
自然数Nと 集合T との全単射は、抽象的存在であって、一つ存在しさえすれば良い だけだから

そうすると、ある人が 対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに
それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです

その証明をする代わりに、可算選択公理を仮定すれば良いのです
そうすると、繰り返すが 可算整列（可能）定理が使えることになり
『集合Tは、可算である』と宣言した瞬間に、
人はかなり自由に Nと集合Tとの全単射 ができます
即ち、集合Tを整列しさえすれば良い

逆に、可算選択公理を仮定しない場合には、
対角線論法のために作った縦の整列が
果たして ”可算集合 定義”の 全単射となっているか？ の証明が
別途必要になるってことです！ｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
可算集合
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/184

196: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 20:11:59.08 ID:gsEji7DN

>>190
>NからTへの全単射fがあることが対角線論法の仮定。
>仮定によりTの元を余すことなく f(0),f(1),・・・ と並べられる。

ふっふ、ほっほ
その f(0),f(1),・・・  と

>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

この s1,s2,s3 ・・・が
f(0),f(1),・・・ に該当するか 否かの保証がないでしょ？ｗ

しかし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を使えば
s1,s2,s3 ・・・が、整列順序であることが言えて
集合Tが、可算であるとの仮定より
s1,s2,s3 ・・・が、可算の整列順序であります

そこに、上記の対角線に沿って、ビット反転をして
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...) が できるが
s not ∈T であります

つまり、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理により
全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていることが、
保証されているからこそ

『s not ∈T 』がいえて
一方、sが 区間[0.1]の無限2進展開の数であるから s ∈ Tであって
それゆえ、矛盾であることが言えて
背理法成立となるわけです！！

もし、可算選択公理から導かれる可算整列（可能）定理を用いなければ
”全ての Si (i=1,2,3・・ ｜ i∈N) が、Tを整列し尽くしていること”について
つまり 『s not ∈T 』の明言の 数学的厳密性に
疑義の余地ができてしまう のです■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/196

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