[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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807(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)10:09 ID:Xxyr0Rol(1/11) AAS
>>803-805
まず >>763より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
Every set can be well-orderd.
Proof：
省36
808(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)10:09 ID:Xxyr0Rol(2/11) AAS
つづき
(参考)(再掲)>>631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
省9
811(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)10:35 ID:Xxyr0Rol(3/11) AAS
>>808 補足
>if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
>That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
ここ
”leave aα undefined if it is. ”は、
A∖{aξ∣ξ<α} が empty のときは
関数”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”が
省6
813(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)10:41 ID:Xxyr0Rol(4/11) AAS
>>811
まあ、数学の常識があれば
すぐ分かることだが
数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ ；ｐ）
823(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)11:23 ID:Xxyr0Rol(5/11) AAS
>>812
>Akihiko Koga氏の証明では
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている
下記だね。見た
これ、>>807-808の Jech, Thomas の証明と類似だね
Jech, Thomas では、”we can do by induction”（超限帰納）と、
”it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A”
省28
826(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)11:30 ID:Xxyr0Rol(6/11) AAS
>>820
>Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
>選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？
関数とは、対応です（現代数学では）
対応の相手が、未定義ならば
その部分は、関数として未定義だよ
830(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)11:34 ID:Xxyr0Rol(7/11) AAS
>>826 補足
>Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
>選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？
だから
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
ここだけ つまみ食いして良いんだよ
省3
833(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)11:39 ID:Xxyr0Rol(8/11) AAS
>>830 補足
(引用開始)
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
ここだけ つまみ食いして良いんだよ
美味しいところだけ、つまみ食い
そうすれば、選択関数の節約になるよ
省7
839(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)12:00 ID:Xxyr0Rol(9/11) AAS
>>833 補足
(引用開始)
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
(引用終り)
選択関数 aα=f(A-{aξ|ξ<α})
の構成を 二つのステップに分ければいい
省8
848(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)13:24 ID:Xxyr0Rol(10/11) AAS
>>776より
Thomas Jechの 証明 再録（>>667より）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
省19
854(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)17:15 ID:Xxyr0Rol(11/11) AAS
>>848 補足
ここで、選択公理のパワーを、従属選択公理DCに落としたときの問題点は
集合Aの（可算）濃度割当とか、順序数との対応付けで
この点については、下記の 壱大整域 alg-d氏が参考になる
下記PDF 資料では、選択公理を使うとあるが
しかし、スコットのトリック(英: Scott's trick)があって
ZFC内で 選択公理なしで 正則性公理による方法がある
省36
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