ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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113: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 08:05:59.40 ID:TvN85EDR

>>108
>いや、有限なら有理数だからｗ

そうでした
区間[0.1]の実数rの無限2進展開は、選択公理とは別ですね
なので>>102の対角線論法の部分は、下記に修正しますね
”縦方向に並べるの行の数は、可算整列可能定理を使って 可算無限にできる
　しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
　対角線論法による 非可算は言えない”

さて
まず、下記の”Cantor's diagonal argument”をご覧下さい
区間[0.1]の実数rを、可算無限個取り出して並べます
s1,s2,・・・
ここで、可算整列可能定理を使っています
（>>83より”可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。” を注意しておきます）

そして、対角線上の 0 or 1 をビット反転します
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
が出来ます

このsは、可算列のどれとも異なります
濃度比較定理>>97より、
区間[0.1]の実数rの集合の濃度は、非可算です

くどいが、”可算整列可能定理を使っています”！■

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument

Uncountable set
The proof starts with an enumeration of elements from T, for example

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
（対角線上の 0 or 1 をビット反転）
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/113

114: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 08:44:20.62 ID:TvN85EDR

>>100
>なんらかの
>例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
>有理コーシー列は出来ても
>そこで”詰みます”ってことでいい？

ここに戻るよ
可算選択公理があれば、実数論の有理コーシー列から、その先に進める
例えば、2次元R2と同一視できる 複素数Cの ガウス平面でも、コーシー列の収束を考えることが可能です
可算選択公理が無ければ 実数論の有理コーシー列のところで詰みで、先に進めない

なお、"可算選択公理無し"の話は、下記のen.wikipedia Cauchy sequence で
”Moduli of Cauchy convergence are used by constructive mathematicians who do not wish to use any form of choice”
とあるので、ここまでは可です

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点
xがある数列の極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合
Sの集積点ならば、
xに収束する数列
S∖{x}が存在する」という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
点列 (xn) が 略
数列の場合と同じく点列がコーシー的であるなどという
これは、座標の各成分が全てコーシー数列を成すことと等価である
また、やはり数列の場合と同様に、Rk における点列 (xn) がコーシー性を持つならば、十分大きな番号 n に対応する点 xn は例外なく全て、ある非常に小さな直径を持つ k 次元球体に含まれる
複素数全体の集合 C を座標平面 R2 と同一視してガウス平面と考えれば、複素数列は平面上の点の列であり、複素空間 Ck 内のコーシー列も同様に考えることができる

en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
Modulus of Cauchy convergence
Any sequence with a modulus of Cauchy convergence is a Cauchy sequence. The existence of a modulus for a Cauchy sequence follows from the well-ordering property of the natural numbers
The existence of a modulus also follows from the principle of countable choice.
Moduli of Cauchy convergence are used by constructive mathematicians who do not wish to use any form of choice. Using a modulus of Cauchy convergence can simplify both definitions and theorems in constructive analysis. Regular Cauchy sequences were used by Bishop (2012) and by Bridges (1997) in constructive mathematics textbooks.

In a metric space
Since the definition of a Cauchy sequence only involves metric concepts, it is straightforward to generalize it to any metric space X.

Completeness
A metric space (X, d) in which every Cauchy sequence converges to an element of X is called complete.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/114

129: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 17:35:08.29 ID:TvN85EDR

>>120-128
ふっふ、ほっほ
出かけていました

5ｃｈ便所板らしいなぁ〜ｗ

アホとバカが大きな顔をして
自分たちはバカですと、騒ぐ

数学の情報は、英語が日本語の十倍という人がいる
いまの場合も、該当するよなｗ

下記で
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”
google訳
”可算選択公理を前提とすると、集合の濃度（集合の要素の数）が自然数の濃度より大きくない場合、その集合は可算です。有限でない可算集合は可算無限であると言われます。”

これ
百回音読してね ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
Countable set
In mathematics, a set is countable if either it is finite or it can be made in one to one correspondence with the set of natural numbers.[a] Equivalently, a set is countable if there exists an injective function from it into the natural numbers; this means that each element in the set may be associated to a unique natural number, or that the elements of the set can be counted one at a time, although the counting may never finish due to an infinite number of elements.

In more technical terms, assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.
A countable set that is not finite is said to be countably infinite.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/129

133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 18:45:46.47 ID:TvN85EDR

>>130 追加

>>113の対角線論法の補足をちゃんと書いておきますね ；ｐ）

>>129より再録
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”

なので、”assuming the axiom of countable choice”を採用します
つまり、可算選択公理より、可算整列定理が従います

さて
命題：実数Rは、非可算濃度である
まず
区間[0.1]の実数rの無限2進展開を考えよう
いま、無限2進展開で、0.1111・・・などは、1に等しいと扱う。他も同じとする

その上で、区間[0.1]の実数rは、無限2進展開で表されることを、認めるとする
補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である
(cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
証明：
背理法による
集合Tが、可算であるとする
可算選択公理より、可算整列定理が従うので、T要素を(可算)整列させて
それら全てについて、自然数による付番が可能である

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
ここで、対角線上の 0 or 1 をビット反転させると
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
ができる。これは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なる

さてsは、区間[0.1]の無限2進展開の数であるから
s ∈ Tである
一方、背理法の仮定より、Tの元は全て整列させてある（可算整列定理使用）
ところが
上述の通り sは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なるので
s not∈ T である
矛盾が生じたので、背理法により、補題が成立
区間[0.1]の実数の集合が、非可算であることが証明されたので
命題：実数Rは、非可算濃度である も成立■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/133

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