ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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420: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/19(日) 10:13:52.49 ID:RlRmaz0L

>>409 補足
(引用開始)
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
(引用終り)

初心者のために
1）これ、二項関係≦ の定義に、まったくなっていない
　つまり、>>409に記したように
　”数学の風景 二項関係とは で
　『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
　A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
　(x,y)∈R のことを，xRy ともかく』とある通りです
　（Rは実数ではなく、関係のことです）
　それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない
　A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです！”
　ということ
2）例えば、集合{0,1,2,3}と4元の集合で
　ここに、整列可能定理を適用して、お好みで
　3≦1≦0≦2 と整列させた。3は長嶋背番号、1は王貞治背番号、0はかっこいい と
3）で、直積A^2の話
　(3,3) (3,1) (3,0) (3,2)
　(1,3) (1,1) (1,0) (1,2)
　(0,3) (0,1) (0,0) (0,2)
　(2,3) (2,1) (2,0) (2,2)
　となって、正方形 直積A^2 ができる
　二項関係 ≦は、いまの場合
　この正方形の対角線より上の部分の集合のことです
4）これを、例えば 実数Rに適用すると
　3≦1≦0≦2≦r4≦r5≦r6・・・｜ r4,r5,r6・・・∈R
　と、非可算の長さの順序列ができる
　これを、縦にも並べて、上記 3)項のペア(順対)を、RxR 作る
　この 非可算列よりなる正方形（一応分かり易くこう表現）の
　対角線より 上の部分の集合が、実数Rの 2項関係 ≦ による整列です
　列 r4,r5,r6・・・の部分は、最後まで具体的に書くことはできないが
　整列可能定理は、数学として その存在を保証するのです
（蛇足だが、列 r4,r5,r6・・・の先頭有限部分は、好きな並びにして 残りを 整列可能定理に任せて良い）
5）さて、上記1)〜4）と、冒頭の ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y))  を対比してみると
　まったく、2項関係の定義として、サマになっていないｗ ；ｐ）
　例えば、∀y∈Y.(f(Y)≦y)ってなに？ そのすぐ上に f(Y)=y に書いてあるから 「y≦y」？
　それとも、Y＝X として （∵Xの任意の空でない部分集合Y）
　f(X)=x ｜ x≠Φ（空集合） とできる
　すると、f(Y)≦y) → ∀x≦y ？
　x は、集合Xの任意の元だから、∀x≦y って、全くナンセンス（無限集合だと、最大値が存在しないかも）
　こんなん、2項関係の定義として、全くサマになっていない！■

”∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) ”の記号表記に 自己陶酔している
その実、選択公理も 整列可能定理も、そもそも2項関係の根本から分ってない！
こんなやつが、数学科修士卒を鼻に掛けて、いばる 便所板 5ｃｈ
滑稽極まりないなｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/420

422: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/19(日) 11:09:31.22 ID:RlRmaz0L

>>404 戻る
(引用開始)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
Let the set we are trying to well-order be A,
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）
(引用終り)

さて、
1）冒頭 ”of order type sup{α∣aα is defined}.”の部分は、平たくいえば
　整列させようとする集合Aについて、集合Aは濃度を持つので、その濃度から 対応する 順序数の列長さが決まる
　それを、”of order type sup{α∣aα is defined}.”と書いたり、
　” it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A”、最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”
　としているのでしょう
2）なお、トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）さん、基礎論の世界では有名らしい
　で、”大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている”
　とあります。en.wikipediaの証明は、そこに依拠している

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BB%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%95
トマーシュ・イェフ（Tomáš Jech, 1944年1月29日 - ）はチェコ出身の数学者。専門は公理的集合論、集合論的位相空間論、測度論等。英語圏での活動が長く、著作の署名には英語ふうの“Thomas”（トーマス）を用いることが多い。エルデシュ数は2。

1978年に出版された大著『集合論』(Set Theory)はその後も改訂を重ね、公理的集合論における代表的な教科書として読み継がれている。
Thomas J. Jech, Set Theory, Academic Press, 1978. 2nd ed., Springer, 1997. 3rd ed., Springer, 2002 (ISBN 9783540440857).

https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Jech
Thomas J. Jech (Czech: Tomáš Jech, pronounced [ˈtomaːʃ ˈjɛx]; born 29 January 1944 in Prague) is a mathematician specializing in set theory who was at Penn State for more than 25 years.

External links
https://web.archive.org/web/20120504114504/http://www.math.cas.cz/~jech/
Home page Archived 2012-05-04 at the Wayback Machine, with a copy at Penn state.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/422

464: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/19(日) 20:57:54.47 ID:RlRmaz0L

>>441
>　Jechの証明のfから上記の性質を持つfに改造できればいいってことで
>　多分いろいろやり方はありそうだけ
>　（たとえばfが半順序になるところまでなんとか持って行って
>　　ツォルンの補題を経由して証明するとか）
>　一番簡単なのはJechの証明の方法でとにかく整列しちゃうってことですかね
>　ということで意図が分かると、
>　阪大工学部卒の凡人が貶すほど酷いものでもないとわかりますね

おサルか？ｗ >>7-10
自分が書いた証明を、他人になりすまして
評論か？ ばれて居るぞ！ｗ ；ｐ）

>>422
(引用開始)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
Let the set we are trying to well-order be A,
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）
(引用終り)

それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ
頑張れぇ〜！ｗｗ ；ｐ）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/464

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