ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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82(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:10 ID:HEywEVY2(1/12) AAS
>>19
>(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか

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１）まず、”ZF上で実数は定義不可能”か？について
　”実数”の意味を明確にしておく必要があるが、それをカントールの集合論における”実数”と規定する
　つまり、下記に出てくる実数の連続性（実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも）を、備えたものとする
２）そうすると、下記いろいろ辿ると ”Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich”(1997)
省27

83(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:11 ID:HEywEVY2(2/12) AAS
つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
従属選択公理
→詳細は「従属選択公理」を参照
省27

84(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:11 ID:HEywEVY2(3/12) AAS
つづき

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
省27

85: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:12 ID:HEywEVY2(4/12) AAS
つづき

＜Lindelöfとは？＞
en.wikipedia.org/wiki/Lindel%C3%B6f_space
Lindelöf space
In mathematics, a Lindelöf space[1][2] is a topological space in which every open cover has a countable subcover.
The Lindelöf property is a weakening of the more commonly used notion of compactness, which requires the existence of a finite subcover.

（注：上記の”(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous. (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29]”が、下記と思う）
省35

86: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:14 ID:HEywEVY2(5/12) AAS
つづき

en.wikipedia.org/wiki/Compact_space
Compact space
In mathematics, specifically general topology, compactness is a property that seeks to generalize the notion of a closed and bounded subset of Euclidean space.[1] The idea is that a compact space has no "punctures" or "missing endpoints", i.e., it includes all limiting values of points. For example, the open interval (0,1) would not be compact because it excludes the limiting values of 0 and 1, whereas the closed interval [0,1] would be compact. Similarly, the space of rational numbers
Q is not compact, because it has infinitely many "punctures" corresponding to the irrational numbers, and the space of real numbers
R is not compact either, because it excludes the two limiting values
+∞ and −∞.
省7

87: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:15 ID:HEywEVY2(6/12) AAS
つづき

しかし、19世紀末には、解析学の厳密な定式化の基礎と考えられていた連続体の研究から、まったく異なるコンパクト性の概念も徐々に現れてきました。1870年、エドゥアルト・ハイネは、閉じた有界区間上で定義された連続関数は、実際には一様連続であることを示しました。証明の過程で、彼は、より小さな開区間による区間の任意の可算被覆から、その区間を覆うような開区間を有限個選択することができるという補題を利用しました。この補題の重要性はエミール・ボレル( 1895 ) によって認識され、ピエール・クザン(1895) とアンリ・ルベーグ( 1904 )によって任意の区間の集合に一般化されました。現在では結果として知られているハイネ・ボレルの定理は、実数の閉じた有界集合が持つ別の特殊な性質です。

この特性は、集合についての局所的な情報（関数の連続性など）から集合についての大域的な情報（関数の一様連続性など）への移行を可能にする点で重要でした。この考えはルベーグ（1904）によって表明され、彼は現在彼の名前を冠している積分の開発にもこの考えを利用しました。最終的に、パベル・アレクサンドロフとパベル・ウリゾーンの指導の下、ロシアの点集合位相学派は、ハイネ・ボレルのコンパクト性を、現代の位相空間の概念に適用できるような形で定式化しました。アレクサンドロフとウリゾーン（1929）は、現在（相対）逐次コンパクト性と呼ばれている、フレシェによる以前のコンパクト性のバージョンは、適切な条件下では、有限部分被覆の存在に基づいて定式化されたコンパクト性のバージョンから導かれることを示しました。このコンパクト性の概念は、より強力な特性であるだけでなく、空間内の開集合の構造のみに依存するため、最小限の追加技術的機構でより一般的な設定で定式化できるため、支配的なものとなりました。

つづく

88: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:15 ID:HEywEVY2(7/12) AAS
つづき

＜注：下記は、対角線論法でない実数Ｒの非可算の証明の話＞
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_set_theory_article
Cantor's first set theory article
This theorem is proved using Cantor's first uncountability proof, which differs from the more familiar proof using his diagonal argument. The title of the article, "On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers" ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen"), refers to its first theorem: the set of real algebraic numbers is countable. Cantor's article was published in 1874. In 1879, he modified his uncountability proof by using the topological notion of a set being dense in an interval.

＜付録＞これ面白いね Tarski–Grothendieck set theory (TG, named after mathematicians Alfred Tarski and Alexander Grothendieck)
en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
省4

89: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)12:24 ID:HEywEVY2(8/12) AAS
>>82 タイポ訂正

可算選択公理でさえ、R is a Lindel や in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
　↓
可算選択公理でさえ、R is a Lindelöf や in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,

90: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)14:04 ID:HEywEVY2(9/12) AAS
>>83
>従属選択公理で、実数の連続性（実数の完備性）が言えるか（フルパワー選択公理でなく）

答えは、多分Yes と思うが
適当な文献が見つからないので
下記のmathoverflowで、お茶濁すｗ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
省17

97(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)18:04 ID:HEywEVY2(10/12) AAS
>>93
>【実数の構成】
>wikipedia「コーシー列」
>この中で実数体Rが完備であることが選択公理を用いること無く示されている。

なるほど
有理コーシー列の構成が、なんらの選択公理なしで可能なことは認める
その上で問う
省8

99(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)18:35 ID:HEywEVY2(11/12) AAS
>>98
対角線論法は、可算整列ができないと
使えないのでは？

選択公理 vs 整列可能定理
と同様に
可算選択公理 vs 可算整列可能定理
となると思うが
省2

100(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/10(金)18:38 ID:HEywEVY2(12/12) AAS
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？

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