ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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709: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 11:18:59.62 ID:C6l4Y3jA

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね
では、再度>>666-667の説明を 補足しよう

>>667より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）これで、キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ
　f 選択関数、A-{aξ：ξ<α} が、定義域（入力）の集合族で 順序数の添え字が α
　値域（出力）が aαで、Aの要素a∈Aに、順序数の添え字 α がついて aα となっている
２）そうすると、定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？
　それが、問題となる
　Jechは、”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”と記す
　以下、くだけた表現を使う
　繰り返しになるが 集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む
　そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く（これは定義です。Φは空集合）
　そして、P(A) -Φ を再度 P'と略記しよう
３）上記の Jech証明と照らすと、A-{aξ：ξ<α}  ∈ P' である
　なので、P' から  A-{aξ：ξ<α} を要素として取り出して 部分集合 を 形成することを考えると
４）やっていることは、P' から まず Aを取る
　次に Aから一つ要素が減った A-{a0} を取り
　さらに、二つ要素が減った A-{a0,a1} を取り・・と続ける
５）Jech 流の表記では、A-{aξ：ξ<α}となる
　こうして、P'の部分集合 として 集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて
　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる
　この関数は、選択公理で許される 選択関数である
　P'の部分集合 として 集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える(>>667)
　また、順序数の添え字 α による 超限帰納（or 超限再帰）も使える
６）さらに付言しておくと、集合Aから最初に どの要素を取り出して、次に どの要素を取り出して ・・・
　と続けることを考えると、集合Aの並びは 大きな自由度があり、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある
　つまり、いま A={a,b,c,d}と４つの要素からなるとすると
　最初の文字は4通り、次は3通り・・ となり 全体で4！通りになる（要素 有限nなら n！通りになる）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/709

734: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 13:39:22.40 ID:C6l4Y3jA

血の巡りの悪い人がいるね

>>729
>「Aの空でない部分集合から要素を取り出す選択関数」で十分なのに
>なぜ、選択関数の定義域を「Aの空でない部分集合」から
>より小さい集合族に限定する必要があるのだろうか？

それ>>730に書いたけど Aが可算だとするよ
そうすると、選択関数の定義域を、P' (＝Aのべき集合から空集合を除いた集合)
で考えても良いが、問題は そのままでは そもそも 順序数での添え字付けがないってことだ（そして もし 添え字付けすれば Aより一つランク上の無限の順序数の添え字要）

そこで、Jechは より小さい集合族 aα=f(A-{aξ：ξ<α})
にうまく落とし込んでいるってことだね

で、集合族 A-{aξ：ξ<α} の順序数の添え字と 集合Aの要素aとが
過不足なく 対応して 集合Aに 順序数の添え字による 整列順序が入るってしかけだろ？

>可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって
>考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？

話は全く逆だよ
選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり
集合族の添え字 一つから 一つの要素が出るので つまりは 要素の整列の長さが決まる
非可算とか可算とかね

この根本的な 選択公理の理解に対する全体像 つまり ランドスケープが欠けているから
トンチンカンなことを、ほざくのですｗｗ

いま、可算集合Aがあって、可算選択公理を仮定する
Jech の 集合族 A-{aξ：ξ<α}  で、順序数の添え字 α は、可算で収まる
ならば、集合族 A-{aξ：ξ<α} は、可算の集合族であり
可算選択公理で、可算集合Aは整列可能となる！■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/734

750: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 17:59:32.77 ID:C6l4Y3jA

つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の変種
可算選択公理
→詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点
xがある数列の極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する数列S∖{x}が存在する」
という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。
また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる[1]。
ポール・コーエンはACωがZF集合論から証明できないことを示した。

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
Weaker systems
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold.[7]
Equivalent forms
There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9]
略す
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/750

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