[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/

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579: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 05:07:59.18 ID:AIirwIxg >>572 >整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する Jechの証明では a(α)＝{a(ξ)∣ξ<α}　ではなく a(α)＝f({a(ξ)∣ξ<α})　なんですがね aの定義域は順序数でいいけど fの定義域は？　Aの空でない部分集合でしょ fはAの空でない部分集合から要素を選ぶ関数で この関数の存在を選択公理で保証してるんでしょ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/579

580: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 05:13:04.05 ID:AIirwIxg >>574 >いま、基礎論の教科書を書いているとすると、 >整列可能定理の証明前に、 >任意集合Aが なんらかの濃度を持つ >という集合の濃度の章（or 節）を、 >すでに書いているかどうか（書けるかどうか） ？ 順序数の全体が集合でないことを証明しておけば 整列定理で上限がない場合 Aが順序数の全体を”部分”として含むので Aが集合であることに矛盾するから上限がある といえるだろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/580

584: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 09:19:47.09 ID:AIirwIxg >>583 > 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば 　それ論点先取 　集合が濃度を持つ、というために整列定理を使ってるので 　sup{α∣aα is defined}が存在しなければ集合ではない、というのは 　整列定理と無関係に順序数の全体が順序数でない、ということから言えるだろ 　集合の全体が集合でない、というのが整列定理を用いずにいえるのと同じく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/584

586: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 09:43:34.98 ID:AIirwIxg >>585 選択関数の定義域は？ 「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？ 決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ 選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない だから、Jechの証明は可算選択公理では使えない （ちなみに彌永の「数の体系（上）」岩波新書を読んでたら 　選択公理による整列定理の証明で同様の説明があったから 　元はErnst Zermeloの証明だな） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/586

601: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 17:28:36.17 ID:AIirwIxg >>598 ＜六甲山のサルの藁人形論法＞ >集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという 　六甲山のサルの幻聴 　選択公理を適用する集合族がP(A)‐Φだといったが 　P(A)-Φが整列できる、とはいってないし 　Jechの証明はもちろんそうなってない 　サルが勝手に「集合族そのものが整列される」と 　何の根拠もなく思い込んでるだけ 　その思い込みは全く初歩レベルの誤解 >必死で、集合Aの順序数の割当に 突っかかるサル 　必死で突っかかってるのは六甲山のサル　貴様だよ 　「集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという」ってなんじゃそりゃ 　ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!! http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/601

602: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 18:07:29.02 ID:AIirwIxg Aが有限集合{1,2,3}だとしよう Jechの証明の方法ではP(A)-{}に対して選択関数fが存在する 例えば f({1,2,3})=1 f₍{1,2})=1 f({2,3})=2 f({1,3})=1 f({1})=1 f({2})=2 f({3})=3 f({})=undefined 上記のfでは結果としてできるAの整列は f({1,2,3})=1 f({2,3})=2 f({3})=3 しかし、別に f₍{1,2,3})=3 でもいいわけだから、その場合には f({1,2,3})=3 f({1,2})=1 f({2})=2 でもいいし、さらに f({1,2})=2 でもいいわけだから、その場合は f({1,2,3})=3 f({1,2})=2 f({1})=1 になる P(A)-Φの可能な選択関数に対して得られるAの整列を考えてみてもおもろしいだろう もちろん、1対1対応はしない筈である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/602

609: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 20:37:44.20 ID:AIirwIxg ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する （もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない） CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/609

610: １３２人目の素数さん [] 2025/01/25(土) 20:40:41.47 ID:AIirwIxg >>609で示したモデルはもちろん箱入り無数目も不成立である 尻尾同値類の代表を選択する関数が存在しないから 注）無限列を例えば有理数の無限小数展開に制限するとかなら 　　選択公理なしに代表が選べるから箱入り無数目はもちろん成立する http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/610

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