ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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473: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 15:58:24.24 ID:7RKCNKc8

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

さて >>465 より
(引用開始)
”we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.”
ああ、ごめんごめん。きみ、英語全く読めないニホンザルだったな。翻訳しとくわ。
「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」
(引用終り)

それでな おサルさんよ>>7-10
もう一度 君の証明と対比するよ
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

一方 >>464 より
それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

さて
１）両者を対比すると、その差歴然
　おサルはど素人。Thomas Jechの 証明は、プロ！
２）おサルで首肯できるのは、１行目だけ
　２行目からスベっていますｗ ；ｐ）
　”X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する”
　って、それ 全く定義の体をなしていないことは、すでに指摘した
３）ある順序 aRbが与えられたとき
　それが 整列順序であるか否か？
　下記 尾畑研 整列集合：すべての空でない部分集合が最小元をもつ
　ここの扱いが一番難しい
　ところが、おサルの証明は
　『≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから』とスベっているｗ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/473

474: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 16:01:00.87 ID:7RKCNKc8

つづき

４）さて 尾畑研 整列集合 定理13.14 より、順序同型 を 考えて
　さらに 14.1順序型としての順序数 から 整列集合の順序型→順序数 を使うことを思いつくだろう（Jechのテキストにも書いてある）
　もし、この ”整列集合の順序型→順序数”を使わないで、自力で順序を導入して ”整列順序”の「・・任意部分集合が最小元をもつ」を証明しよとすると、大変だろ
　ここを処理するのが、一つは 上記 Jechの順序数との対応付け
　もう一つが、ツォルンの補題を使うスジです（下記 尾畑研 13.3 整列可能定理 ご参照）

５）また、上記 Jech ”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”は
　下記のen.wikipedia の Well-ordering theoremの証明では、省かれているよ
　溺れる者は藁をもつかむだろうｗ ；ｐ）
　さらに、Jech ”Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.”
　が、下記 en.wikipedia の Well-ordering theoremの証明の ”of order type sup{α∣aα is defined}.”に対応している

(参考)
東北大 尾畑研(いつもお世話になっております)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき,整列集合であるといいそのような順序を整列順序という
P194
定理13.14 整列集合に対して次の3つの場合のうちいずれかつだけが成り立つ
(i)XとYは順序同型である
(ii)XとYの切片が順序同型である
(iii)Xの切片とYが順序同型である

13.3 整列可能定理
ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第14章順序数
14.1順序型としての順序数
一般に順序同型な2つの順序集合は同じ順序型をもつといい 整列集合の順序型を順序数という
つまり順序数αというときは それに対応する整列集合(A,≼)を念頭にして それと順序同型な整列集合を代表するものと理解する
このあたりの取扱いは集合の濃度と同様である
なお順序数そのものの定義は第14.3節で与える

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/474

480: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 17:01:10.69 ID:7RKCNKc8

>>472 追加
　>>385より再録
要するに
・選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
・従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
・可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
・有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

さて、繰り返すが
フルパワー選択公理より弱い 選択公理の変種がいろいろ あります
選択公理の変種のパワーは、形成できる列の長さで測れる。すなわち
有限選択定理(有限列) ＜ 可算選択公理ACω(列ωまで) ＜ 従属選択公理DC(列 可算無限ω以上だが制限あり) ＜ 選択公理(列 無制限)

また、下記 Horst Herrlich にあるように
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
と ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
とが、Equivalent
A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列ωの構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと>>385
(”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”ぼ正確な定義が不明だが、最弱の可算選択公理(可算無限ωに制限) を、
　さらに ”for countable collections of subsets of R.”に制限している )
なので
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　↓↑
”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
証明は、文献 [15], [29], [30]にあるらしい ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/480

481: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 17:01:38.43 ID:7RKCNKc8

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。

>>154より
alg-d.com/math/ac/countable_union.html
可算和定理 壱大整域
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．以下略

（いつもお世話になっている尾畑先生）
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
「第11章 選択公理」p164 の定理11.7 (可算和定理)
(選択公理なしでは証明できない)

>>84より
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/481

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