ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

334: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/16(木) 10:32:45.94 ID:6RwEALUm

>>327 補足
>それから、”as desired”（お望み通りの）にも注目してくれ
>要するに”すきに並べて良いぞ”ってことです

>>294 ここに戻る
(引用開始)
だから 前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/970
”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を 整列可能定理で 作ったと解釈してくださいね。整列可能定理でね
それで、議論は終りです
(引用終り)

１）要するに
　集合 Zerm={{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・”}
　があって、これを整列可能定理で並べる
　例えば
　{{{}}},{{}},{{{{}}}},{}, ・・・
　などと、ランダムに並べて良い
　普通は、
　{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ とするだろう
　これを、∈の関係で見ると
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　となっている
２）この流れで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と記すことは、妨げられない
　整列可能定理で並べて、こう書けるというだけのことだ
　だから、”{}∈{{{}}}”となっていないから、おかしいというのは
　整列可能定理の”as desired”が分ってないってこと
３）{{{}}},{{}},{{{{}}}},{}, ・・・
　が許さるならば
　{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・
　も許されて、隣同士の∈の関係で
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書けるだけのことですｗ ；ｐ）

あと、もう一つ付言しておくと
整列可能定理が、”as desired”だとすると
それと equivalent な 選択公理もまた ”as desired”です

”as desired”なのに 「選択公理が一意だ！」とか
（あなたの”as desired”と、私の”as desired”とは、当然異なりますよｗｗ）
こんな ワケワカ主張を、怒鳴って（特に 箱入り無数目スレで）
「おまえは 選択公理が分ってない」などと、ある プロ数学者を罵倒している人がいますｗｗ
完全に倒錯していますよね ｗｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/334

341: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/16(木) 16:39:12.32 ID:6RwEALUm

>>337 >>340
>順序数を作るのに整列可能定理は一切不要だよ
>ところで、昔の和書では ・・ ツォルンの補題を経由していたが

うむ 下記ですな
順序は 何度も読んだが、厳密を求めると 結構複雑です ；ｐ）
下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
を使うと、循環論法になる
ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[*1]を拡張させた概念である。
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
GA,<(a)={GA,<(x)∣x<a}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[*2]。

ブラリ＝フォルティの定理**)
ブラリ＝フォルティの定理とは、「すべての順序数からなる集合は存在しない」という定理である。これは次のようにして示すことができる：
略す
かつて、集合論が公理化される以前には、「集合全体の集合」や「順序数全体の集合」といったものも無制限に考えられていたため、上のように順序数全体の集合を考えたときに起こる矛盾はブラリ＝フォルティのパラドックスと呼ばれていた。

集合の濃度と基数
→詳細は「濃度 (数学)」を参照
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数 (equinumerous) であるといい、A ≈ B で表す。
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える。***)
そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度 (cardinality of A) といい、これを |A| あるいは card(A) で表す。ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数 (cardinal number) と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
|A| = |B| 　⇔　 A ≈ B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。

脚注
*1^ 本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、0 = Φ , 1 = { 0 } , 2 = { 0, 1 } である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/341

343: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/16(木) 16:40:48.43 ID:6RwEALUm

つづき

正式な定義
上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である。実際、このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない。だが、この方法には一つ大きな欠点がある。それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。つまり、そのような集まりはあまりに大きすぎるため集合になることができないのである。**)
したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する：
全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) とは、(A, <A) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体の集合である。type(A, <A) を (A, <A) の順序型と呼び、ある全順序集合の順序型であるものを単に順序型と呼ぶ[1]。
全順序集合 (A, <A) と同型な順序集合で階数が最小であるものの階数を α とすれば、type(A, <A) の要素はすべて Vα + 1 [2]に属するので、type(A, <A) はきちんと集合として定義されている。このようにして定義された順序型が (※) の性質をみたしていることは次のようにして示すことができる：
略す
(引用終り)

注）**)
良く知られているが、"順序集合全体の集合といったもの"は、クラスになり、集合ではない。
***)
"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
は、面白いｗ
循環論法か・・
多分、少し工夫すれば・・ 選択公理→整列定理 を導くときの 順序数 との対応について
循環論法を避けられる気がするが、すぐには思いつかないが・・ ；ｐ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/343

346: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/16(木) 18:22:02.35 ID:6RwEALUm

渕野昌「実数の集合論の基礎の基礎」
”2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容”
とある
「以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている」
とも

(参考)に、貼っておきますね

fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
実数の集合論の基礎の基礎　渕野昌(Saka´ eFuchino)
2002年8月24日軽井沢にて起稿
2002年11月11日新横浜名古屋間の新幹線の車中にて脱稿
2002年11月23日訂正補筆2002年11月29日原稿提出後の補筆
2003年10月30日footnoteの一つの補正．

0 はじめに
以下のテキストは，2002年7月26日(金)から7月29日(月)にかけて名古屋大学情報文化学部にて行われた「2002年度数学基礎論サマースクール」における講義の内容を，このサマースクールの講義録のために整理し直したものである．2002 年度数学基礎論サマースクールのテーマは実数の集合論であったが，筆者は，この理論で用いられる集合論からの予備知識についての講義を行なった．講義は，カントル空間やベール空間における，ベールの一種の（現代の用語ではmeagerな）集合の全体のイデアルと零集合のイデアルに関する基礎的な知識について述べた第一部と，超限帰納法，順序数，基数といった，（実数の集合論を含む）集合論の応用で縦横に用いられることになる手法や概念への入門について述べた第二部からなるものだったが，本稿では第1章と第2章が，これらに対応している．本稿では，さらに第3章で，第1章と第2章で導入した手法や概念の応用として，講義では時間的な制約のために述べることのできなかった，実数の集合論での古典的な—–つまり，主にのポーランド学派1の数学者たちによって，強制法(forcing)の理論以前の時代にすでに得られていたような—–結果のいくつかに触れる．

集合論全般についての標準的な教科書としては[11]や[7]がある．この講義録に目を通した後で，実数の集合論を本格的に勉強したくなった人は，たとえば[11]から[2]と読みすすむのがよいだろう．

P3
2以下の議論は，形式的には，すべてZermelo-Fraenkel の集合論の公理系に選択公理を加えた体系（これをZFC とよぶ）の中で行われている，と考えられる．ZFCの公理系については例えば[6]や[11]などを参照されたい．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/346

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 2.199s*