ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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616: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 08:41:01.73 ID:57hfZFiX

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>615
>なぜなら重要なのは
>>sup{α|aα is defined}
>であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。

あたま腐ってない？
　>>612に例示したように
自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき
可能な列の最小長さは ωで
あと任意 ω・m (m>2の自然数)と出来て
ω・ω も可能なんだろうね
だが、非可算のω1には 到達できない
並びは、一意ではない。>>583 "as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより)
だよ

>>611
>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。

??? なんだそれ？

>>609
>ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する
>（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない）
>CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな

ZFで可算選択公理さえ採用しなければ、当然だろ？
そもそも、可算選択公理なしでは 可算集合Aさえ整列できない
Cantorは、暗黙に可算選択公理を前提としていたというが、かれの現役時代は選択公理を知らない
しかし、Zermeloが選択公理を導入したから、Zermeloは すぐ理解するだろう

>>586
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？

なんだそりゃ？
選択関数が分ってない？
あのさ、数学科の学部1年か2年がいうなら、独創的な発想だね とか まだかわいいよ
しかし、30年前に 数学科修士を卒業して よって あれから30年経つ人がいうか？
「あなた、全く数学の才能ないね？！」でしょ
それだと、大学数学科行っても、チンプンカンプンで終わったろうさ ；ｐ）
やれやれ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/616

622: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 11:14:29.98 ID:57hfZFiX

>>619 補足

ja.wikipediaでは、Ａばかり出てきて 分りにくいので
en.wikipediaより 下記ご参照

なお、下記のja.wikipedia可算選択公理と従属選択公理とを合わせると
要するに、取り扱える集合族が 非可算ならば フルパワー選択公理
可算の範囲で、単純なのが 可算選択公理
さらに、”従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということ”(下記)

で、平たくいえば、フルパワー選択公理の定義域で 集合族の添え字を
非可算から、可算に制限すると 可算選択公理か従属選択公理になる
ということ

大は小を兼ねるで、フルパワー選択公理は、可算選択公理が出来ること、従属選択公理できることは
全てできる。

繰り返すが、定義域の集合族の添え字を可算に制限すると、可算選択公理か従属選択公理になる
当たり前だが、関数の定義域は 都合により いろいろ制限してよい
また、必要により 矛盾なく拡張できるならば、そうして良い
（あたかも、指数関数e^x＝exp(x) は、歴史的には 自然数が考えられ、その後負のベキが考えられ、有理数のベキに拡大され、そして実数Rから複素数Cに定義域は拡張された。関数の定義域とは、そういうものよ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
Formally, this may be expressed as follows:
∀X[Φ not∈X ⟹ ∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)].

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理の変種
選択公理には様々な変種が存在する
可算選択公理
従属選択公理

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理DCとは、選択公理の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である
形式的な言明
従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係
R に対して、列(xn)n∈N を全ての n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる
使用例
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は
AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/622

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう

1）
　>>486より 再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

2）
また
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
つまり、関数で書くと
・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα

"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
妄想沸いてるよ ｗ ；ｐ）
定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/631

637: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 15:07:26.99 ID:57hfZFiX

ところで、下記
集合論の形成にみる「直観」の問題
中村大介 学習院大学 科学哲学46−1（2013）
”2 カントールの創造”
を見つけたので、貼っておきますね
これ 非常に興味深い
いま、カントールの原論文に 注釈なしで 読む気もない（おそらく読む能力もない）
から、下記はありがたい

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj/46/1/46_53/_pdf
科学哲学46−1（2013）
集合論の形成にみる「直観」の問題
一カヴァイエスの立場から−
中村大介 学習院大学
(抜粋)
2 カントールの創造
2.1　1881年以前
ここでは再構成の出発点を，ゲオルグ・カントールの1872年の論文「三角
級数論の一定理の拡張について」に定める．タイトルから分かる通り，この時
期，カントールはまだ解析学の領域で仕事をしていた．この論文で彼は1870
年に考察した実関数の三角級数展開
f(x) = 1/2a0+(a1 cosx + b1 sinx)+・・・+(an cos nx +bn cosnx) + ・・・
の一意性の問題を，導集合の概念を導入して再考している．
今，あるｎ次導集合(n∈N)が空集合となるような集合を第(n- 1)種集合
と呼ぶことにすると，カントールは以下が成り立つことを示した．すなわち，
実関数が上の形に三角級数展開されるならば，区間[0,2π]内の，何らかのあ
る第k種集合に属する点を除く全てのxに対して，この展開は一意である．
ここで注意すべきは，導集合を作る手続きほいまだ有限の範囲にとどまっ
ている，ということである．そして，この手続きを有限の範囲を超えて拡張
することが，集合論の形成に大きく貢献することになる．そして，カントー
ルはこの時点で既に，この手続きを一般化することの重要性に気がついてい
たように見える．

この拡張が最初に見られるのはやや時代を空けて2，1879年のことである．
この年から1884年まで，彼は「無限線状点集合について」と題された一連
の論文を執筆する．全六部まであるこの論文は，カントールがいかにして解
析学を超出して超限集合論を形成していくか，その経緯を雄弁に語ってくれ
る．

1879年に発表されたこの第一部で注目すべきことは，1873-1877
年の間に集中的に検討された「濃度」概念とこの集合の類との関係が考察さ
れ始める，ということである．カントールは既にこのとき，自然数全体の集
合の濃度と実数全体の集合（線状連続体）のそれとが異なる，という結果を
得ていた．そこで，集合をボトムアップ式に作りだしていくことで，これら
異なった二つの濃度をもつ集合に至れるかどうかは，彼にとって重要な関心
事であったのである．カントールはこの考察のために，「クラス」と呼ばれる
集合に対する別の区分を導入する．可算集合を全て含むクラスが「第一クラ
ス」，連続区間と全単射対応する集合を全て含むクラスが「第二クラス」とさ
れる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/637

648: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 19:56:00.32 ID:57hfZFiX

>>646
>そのまんまだけど？　何が分からないと？

まあ
そうやって逃げるのが賢明だねｗｗ ；ｐ）

>>647
>>ここで、Jech, Thomas の工夫はαという順序数を 選択関数 f に組み込んだことにあるよ
>選択関数の定義域は2^A-{}、値域はAであって、どこにも順序数は無いんだが、「順序数を選択関数に組み込む」って何？
>何をどう勘違いしたの？

ふっふ、ほっほ
Jech, Thomas 下記だよｗｗｗ ；ｐ）
”We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.”
だよ
百回音読してねｗｗｗ ；ｐ）

選択関数fの 定義域を
集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ）

>>630より 再度転記
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enume

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/648

649: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 19:56:51.37 ID:57hfZFiX

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/

さて
『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に
Zorn's lemma を、取り上げようと思う
まず、マクラです

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研 いつもお世話になっております
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第12章 順序集合
12.3 ツォルンの補題
順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう
定理12.18 (ツォルンの補題)
空でない順序集合Xにおいて
すべての全順序部分集合が上界をもつならばにXは極大元が存在する

すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ
そうするとツォルンの補題定理はツォルン集合には極大元が存在することを主張する
証明は長いのでいくつかの段階に分割する
証明
途中略（原文ご参照）
ツォルンの補題(定理12.18)の証明の完成
・・・に矛盾する
この矛盾はXに極大元が存在しないと仮定したことから生じたので
Xには極大元が存在する■

選択公理ツォルンの補題(定理12.18)の証明に選択公理(AC2)を用いたので選択公理からツォルンの補題が導かれたと言うことができる
実は逆も正しく次の主張が成り立つ
定理12.23
選択公理とツォルンの補題は同値である

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第11章選択公理
11.2選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある大まかには選択集合を用いるか選択関数を用いるかあるいは直積集合を用いることになるがそれぞれに多少のバリエーションがあるここでは使いやすく簡潔なものを採用しよう
(AC2) Ω を空でない集合族とする
　もしΦnot∈ Ωであれば写像f：Ω→ ∪XですべてのX∈Ω に対してf(X)∈Xとなるものが存在する.
　この写像fを集合族Ωの選択関数という

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/649

650: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 19:58:17.37 ID:57hfZFiX

つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。

命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。
この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。選択公理と同値な命題の一つ。

準備
この補題で使われている用語の定義は以下のとおりである。集合 P と順序関係 ≤ によって定まる半順序集合を(P, ≤) とする。順序関係において、元 s とt が s ≤ t かつ s ≠ t であるとき、s < tと表す。部分集合 T が 全順序 であるとは、 T の各元 s と t について、s ≤ t または t ≤ s が必ず成り立つことを言う。T が P に上界 u を持つとは、T の元 t がつねに t ≤ u を満たすことをいう。注意として、u は P の元であればよく、T の元である必要はない。P の元 m が 極大元 であるとは、P の元 x で、 m < x となるものは存在しないことをいう。

部分集合としての空集合は自明な鎖であり、上界を持つ必要がある。空な鎖の上界は任意の元なので、このことから 上記の命題においてP が少なくともひとつの元を持つこと、すなわち空集合でないことが分かる。よって、以下の同値な定式化が可能となる。

命題
Pを空でない半順序集合で、その任意の空でない鎖は P に上界を持つとする。このとき P は少なくともひとつ極大元を持つ。
これらの違いは微妙なものであるが、ツォルンの補題を使った証明において半順序として包含関係に代表されるような集合同士の関係を用いる場合、鎖を集合族として/その上界を鎖となった集合族の合併としてとる事があり、その際に空な族の合併は空集合になる一方で空なる鎖の上界は任意の「空でない集合」であるという不一致が、台集合に元として空集合が所属していない場合に起こるので、予め定義において空な鎖について考えなくてよいとの明言が議論を簡単にするという点で使い分けることができる。

ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である。すなわち、ひとつを仮定すると残りを証明することができる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/650

652: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 22:30:33.59 ID:57hfZFiX

>>651
(引用開始)
>選択関数fの 定義域を
>集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
>必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ）
じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて
(引用終り)

1）ふっふ、ほっほ
　>>631より 再度転記しますｗｗ
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

2）で 上記 T Jechの証明で尽くされているんじゃない？
　何も足さない。何も引かない。他には 何も必要ないｗ ｗ ；ｐ）
3）現代的定義では、関数とは 写像（対応）だよね
　いま 実数R→R の指数関数f(x) =a^x (a > 0)があったとする
　定義域 R を、有理数Qにする、あるいは整数Zに、あるいは自然数N に狭めることは可能だ
　なぜならば、関数とは 写像（対応）だから
　それぞれ 関数を Q→R,Z→R,N→R の対応と考えれば良いだけのこと
　逆に、定義域 R を、複素数Cに拡張することもできる。そのとき、値域もCになるが
　複素数関数 C→C f(z) =a^z | z∈C となる
　このように 現代的定義では、関数 即ち 写像（対応）の定義域は、自由度があるのです
3）選択関数についても同様だし
　そもそも、定義域は ”集合族”としか規定されていない
　だから、Thomas Jech のように aα=f(A-{aξ：ξ<α}) とすることに、だれも文句はないはずだ
　どこかの 偏屈の二人以外はね ｗ ；ｐ）
4）選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろという
　別に構わんよ。>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』とするんだって？
　それは、選択公理そのものだから、それはだれも禁止していないし、選択公理を認めれば だれも それは否定できない
　だが、あっても邪魔には成らないが、Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない！！■
以上 ｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/652

655: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 23:09:21.99 ID:57hfZFiX

>>649 追加
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第12章 順序集合
12.3 ツォルンの補題
すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ
そうするとツォルンの補題定理(定理12.18)はツォルン集合には極大元が存在することを主張する
証明は長いのでいくつかの段階に分割する 3）

3）ここでは松村にしたがって集合と写像を用いた初等的な証明を紹介する
超限帰納法による証明もありそれは簡潔で直感的なのだがそのためには整列集合の理論を準備
する必要がある

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。
補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
各鎖 T について、それより真に大きな元 b(T) が存在する。なぜなら、T は上界を持ち、さらにそれより大きな元が存在するからである。関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。

この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。
順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。まず、a0 は P の元から勝手に選ぶ(これは P が空の鎖の上界を持ち、空でないことから可能である)。
他の順序数 w については、aw = b({av: v < w}) で定める。{av: v < w} は全順序であるので、この定義は正しい超限帰納法である。

en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma
Proof sketch
A sketch of the proof of Zorn's lemma follows, assuming the axiom of choice. Suppose the lemma is false. Then there exists a partially ordered set, or poset, P such that every totally ordered subset has an upper bound, and that for every element in P there is another element bigger than it. For every totally ordered subset T we may then define a bigger element b(T), because T has an upper bound, and that upper bound has a bigger element. To actually define the function b, we need to employ the axiom of choice (explicitly: let
B(T)={b∈P:∀t∈T,b≥t}, that is, the set of upper bounds for T. The axiom of choice furnishes
b:b(T)∈B(T).
Using the function b, we are going to define elements a0 < a1 < a2 < a3 < ... < aω < aω+1 <…, in P.
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/655

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