ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

1: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/1

2: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 09:57:54.07 ID:2b7XvZNh

つづき

メモ
https://www.iwanami.co.jp/book/b374907.html
岩波科学ライブラリー
ガロアの論文を読んでみた
時代を超越していたガロアの第1論文．その行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．

https://www.iwanami.co.jp//images/book/374907.jpg

著者 金　重明 著
刊行日 2018/09/21

試し読み
https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0296770.pdf

この本の内容
決闘の前夜，ガロアが手にしていた第1論文．方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は，まさに時代を超越するものだった．置換の定式化にはじまり，ガロア群，正規部分群の発見をへて，方程式が代数的に解ける条件の証明へ．簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．

http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois01.html
ガロア理論 Galois theory

第一論文
ガロアの第一論文は、「方程式が代数的に解けるための必要十分条件」を【原理】と【応用】で論じている。
ここでは【原理】の部分を確認する。1831年当時「群」・「体」の用語がなく、ガロアは「群」・「体」という言葉は使わなかったが、ここでは「群」・「体」という用語を使って説明する。

概要
第一論文は、
・定義（可約と既約）
・定義（置換群）
・補題１（既約多項式の性質）→補題２（根でつくるV）→補題３（Ｖで根を表す）→補題４（Ｖの共役）
・定理１（「方程式のガロア群」の定義）
・定理２（「方程式のガロア群」の縮小）
・定理３（補助方程式のすべての根を添加）
・定理４（縮小したガロア群の性質）
・定理５（方程式が代数的に解ける必要十分条件）
というストーリーで進みます。

http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois02.html
ガロア理論 Galois theory

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/2

3: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 09:59:04.02 ID:2b7XvZNh

つづき

メモ （デデキントのガロア理論講義の話が興味深い）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/15/4/15_4_159/_pdf
ガロア理論の推移史について
中村幸四郎*
科学基礎論研究1982

この論文は多くの後継者を経て,後に「ガロア理論」
といわれ,数学理論のうちの理論ともいわれるものとな
り,現代に及んでいることは周知のとおりであるが,私
はこの小文において,これがフランス数学からドイツ数
学へ移行する問題を,数学史の1つの問題として考察し
ょうと思う。
2.現在行われている「ガロア理論」は約150年の歳月
を経て,ガロアの原著とは著しく変ったものとなってい
る.その最も著しい点はガロアの原著が群(とくに有限
群)を基調とするものであるのに対比して,現代の理論
は体(Korper)の理論,特に体の「拡大」(Erweiterung)
を基礎に置くものとなっている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E6%9D%91%E5%B9%B8%E5%9B%9B%E9%83%8E
中村 幸四郎（1901年6月6日 - 1986年9月28日）は、日本の数学者（数学基礎論・数学史）。大阪大学名誉教授、関西学院大学名誉教授、兵庫医科大学名誉教授、文学博士。従四位勲三等旭日中綬章

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年)
ガロア理論とその発展 玉川安騎男

環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）
実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。
より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。
１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。

グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は、遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど、理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが、既にいくつもの重要な結果が得られています。例えば、ノイキルヒ・内田の定理は、（グロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが）遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっています。また、近年では、代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が、（本研究所を中心に）さまざまな角度から進められ、興味深い結果がいくつも得られています。このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/3

7: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 10:03:48.30 ID:2b7XvZNh

つづき

数学者の日常

小平の消滅定理の一般化

ホッジ構造
非特異射影多様体のコホモロジーにはホッジ構造と呼ばれる構造が入ります。これは純ホッジ構造と呼ばれるものになっています。一般の代数多様体のコホモロジーには純ホッジ構造は入らないのですが、混合ホッジ構造と呼ばれる純ホッジ構造を拡張したものが入ります。
(引用終り)
以上

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/923 より
”「ガロア理論 昭和で分からず 令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり〜！（＾＾；

なお
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
は、お断りです

小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/7

8: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 10:04:35.26 ID:2b7XvZNh

つづき

再録します。おサルの傷口に塩ですｗ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683585829/508
2023/06/11(日)
下記だねｗ(>>63再録)
スレ主です
数学科オチコボレのサルさんｗ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
線形代数が分かっていないのは、あ な た！ ｗｗｗ
前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/557
傷口に塩を塗って欲しいらしいなｗ
　>>406-407より以下再録
棚から牡丹餅というかｗ

つまり
・私「正方行列の逆行列」（数年前）
　↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
　↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
　↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
　↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
　↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』

＜解説＞
１）何度か、アホが気づくチャンスあった
　最初に”零因子”の意味を検索して知れば、「関係ない話だ！」と絶叫することもない
　（というか、”零因子”を知らないのは、ちょっと代数あやしいよねｗ）
２）『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　に、私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」と指摘された時点で
　”零因子”の意味を調べて理解すべきだったのだ
３）恥の上塗り『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
　「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
　は、あまりにも幼稚。「ケアレスミス」の一言では片づけられないアホさ加減ｗｗｗｗｗｗ
4）確かに、私の「正方行列の逆行列」は不正確な言い方ではあったが
　アホさるの自爆を誘ったとすれば、怪我の功名というか、誘の隙(さそいのすき)というべきかｗｗ
　ゆかいゆかい！ｗｗ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/8

9: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 10:05:33.59 ID:2b7XvZNh

つづき

あほサルの続き

さて
『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』スレより
itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1731415731/771
2024/12/21
おサルさん
笑えるよ
>>684-686 >>689
(引用開始)
正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎関係を与え、
∈に関する整礎帰納法である”∈-induction”の適用を可能とする
全順序とか余計な一言を書いたせいで大恥かいたな　高卒童貞

正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない。
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。
>正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
>ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎な全順序関係を与え
は大間違い
>また…推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。
　ヌォォォォ
　すまん・・・OTL
　工学部卒の自己愛童貞と違うので土下座で謝罪
(引用終り)
オレは、ここの次スレを立てることはしないが
自分の立てたスレが、数学板に3つある
おサルさんの学力顕彰のために、3つスレで 次回のスレ立ての
テンプレに入れるよ。そして、眺めてニヤリと笑うことにしよう
『正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない』
か。妄言である！ 数学科オチコボレさんだってねｗ ガッハハｗｗ
(引用終り)

・整列集合 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
　『（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である』
　『実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。』

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/9

10: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 10:05:59.15 ID:2b7XvZNh

つづき

・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義 自然数の公理
　以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ となり
　0＜1＜2＜3＜・・・ となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
　私には、単なるアホとしか思えないがｗ ；ｐ）
以上

あと
＜乗数イデアル関連（含む層）＞の話や
文学論、囲碁の話もあります
これも、5ｃｈらしくて良いと思いますｗ

テンプレは、以上です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/10

15: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/05(日) 22:42:12.73 ID:y/tQADnI

前スレより
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？

ふっふ、ほっほ
1）下記 選択公理の変種から辿って、可算選択公理と従属選択公理とを、百回音読してね
2）例えば 可算選択公理：”実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]”
　・”例えば集積点が極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する S∖{x}の数列が存在する」という命題を証明したい場合にはACωを用いれば十分である”
3）従属選択公理：”n項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである”
　”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である”

要するに、”(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？”
の答えは、『可算選択公理：”実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い』というようなことで
その実、可算選択公理 ACωや、従属選択公理 DC を、導入していることが殆ど ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の変種
可算選択公理
→詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。
例えば集積点が極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する
S∖{x}の数列が存在する」という命題を証明したい場合にはACωを用いれば十分である。
また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる[1]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/15

83: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/10(金) 12:11:17.66 ID:HEywEVY2

つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
従属選択公理
→詳細は「従属選択公理」を参照

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice（ACω） 可算選択公理
Applications
For instance, in order to prove that every accumulation point
x of a set
S⊆R is the limit of some sequence of elements of
S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.
When formulated for accumulation points of arbitrary metric spaces, the statement becomes equivalent to ACω.
Relation to other axioms
Weaker systems
Paul Cohen showed that ACω is not provable in Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) without the axiom of choice.[6]
Equivalent forms

fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理

Par exemple, afin de prouver que tout point d'accumulation x d'un ensemble S⊆R est la limite d'une suite d'éléments de S\{x}, on a besoin (d'une forme faible) de l'axiome du choix dénombrable. Lorsqu'il est formulé pour les points d'accumulation d'espaces métriques arbitraires, l'énoncé devient équivalent à ACω3.
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。

誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。

There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X -. R with
metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/83

84: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/10(金) 12:11:43.90 ID:HEywEVY2

つづき

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X −→ R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.
Proposition 1.2 ([15]). Equivalent are:
1. in R, every bounded infinite set contains a convergent injective sequence,
2. every infinite subset of R is Dedekind-infinite.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([18]).
Obviously, the conditions of Theorem 1.1 imply the conditions of Proposition 1.2.
Is the converse true?
Observe that the following slight modifications of condition 1 in Proposition 1.2 hold in ZF:
(a) in R, every bounded countable set contains a convergent injective sequence,
(b) in R, for every bounded infinite set there exists an accumulation point.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/84

102: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/10(金) 21:18:23.05 ID:NmRCi1sD

>>99-101
(引用開始)
対角線論法は、可算整列ができないと
使えないのでは？
選択公理 vs 整列可能定理
と同様に
可算選択公理 vs 可算整列可能定理
となると思うが
(引用終り)

まず、先へ進もうねｗ ；ｐ）

1）下記の 従属選択公理で ”他の公理との関連：
　従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
　従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。
　認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
　これを百回音読してね
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
　要するに
　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
　従属選択公理(可算無限以上だが制限あり) ←→  従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上制限あり)
　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→  可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限)
　有限選択定理(有限に制限) ←→  有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
3）”equivalent”に注目しよう
　例えば、下記の 選択公理 ←→ 整列可能定理 の証明を、そのまま使えば
　各対応する 選択公理 vs 整列可能 の ”equivalent”の証明になる
4）その上で、可算整列可能定理について これを認めれば、可算選択公理が導かれる
　なので、可算選択公理を否定するならば、可算整列可能定理も否定されて、
　勝手に 可算長の列は 作れない

さて、対角線論法において、2進展開(0と1)で 上記の通り 横に展開する列の長さが有限ならば
縦方向の行の数の数 即ち 対角線論法の数も有限になるべし
だから 可算選択公理を否定しては、対角線論法が成り立たない

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice;
DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]

形式的な言明
R on X 上の二項関係
R が全域関係であるとは任意の
a∈X, に対してある
b∈X が存在して
aR b が成り立つことである。

従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係
R に対して、列 (xn) n∈N を全ての
n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる。
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。
(これを見るには、x0 から始められる R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい。)
上での集合 X を実数全体の集合に制限したものを DCR で表す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/102

113: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 08:05:59.40 ID:TvN85EDR

>>108
>いや、有限なら有理数だからｗ

そうでした
区間[0.1]の実数rの無限2進展開は、選択公理とは別ですね
なので>>102の対角線論法の部分は、下記に修正しますね
”縦方向に並べるの行の数は、可算整列可能定理を使って 可算無限にできる
　しかし、可算整列可能定理（＝可算選択公理）を否定すると、有限になるので
　対角線論法による 非可算は言えない”

さて
まず、下記の”Cantor's diagonal argument”をご覧下さい
区間[0.1]の実数rを、可算無限個取り出して並べます
s1,s2,・・・
ここで、可算整列可能定理を使っています
（>>83より”可算選択公理 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。” を注意しておきます）

そして、対角線上の 0 or 1 をビット反転します
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
が出来ます

このsは、可算列のどれとも異なります
濃度比較定理>>97より、
区間[0.1]の実数rの集合の濃度は、非可算です

くどいが、”可算整列可能定理を使っています”！■

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument

Uncountable set
The proof starts with an enumeration of elements from T, for example

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
（対角線上の 0 or 1 をビット反転）
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/113

129: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 17:35:08.29 ID:TvN85EDR

>>120-128
ふっふ、ほっほ
出かけていました

5ｃｈ便所板らしいなぁ〜ｗ

アホとバカが大きな顔をして
自分たちはバカですと、騒ぐ

数学の情報は、英語が日本語の十倍という人がいる
いまの場合も、該当するよなｗ

下記で
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”
google訳
”可算選択公理を前提とすると、集合の濃度（集合の要素の数）が自然数の濃度より大きくない場合、その集合は可算です。有限でない可算集合は可算無限であると言われます。”

これ
百回音読してね ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
Countable set
In mathematics, a set is countable if either it is finite or it can be made in one to one correspondence with the set of natural numbers.[a] Equivalently, a set is countable if there exists an injective function from it into the natural numbers; this means that each element in the set may be associated to a unique natural number, or that the elements of the set can be counted one at a time, although the counting may never finish due to an infinite number of elements.

In more technical terms, assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.
A countable set that is not finite is said to be countably infinite.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/129

133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/11(土) 18:45:46.47 ID:TvN85EDR

>>130 追加

>>113の対角線論法の補足をちゃんと書いておきますね ；ｐ）

>>129より再録
”assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (the number of elements of the set) is not greater than that of the natural numbers.”

なので、”assuming the axiom of countable choice”を採用します
つまり、可算選択公理より、可算整列定理が従います

さて
命題：実数Rは、非可算濃度である
まず
区間[0.1]の実数rの無限2進展開を考えよう
いま、無限2進展開で、0.1111・・・などは、1に等しいと扱う。他も同じとする

その上で、区間[0.1]の実数rは、無限2進展開で表されることを、認めるとする
補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である
(cf en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
証明：
背理法による
集合Tが、可算であるとする
可算選択公理より、可算整列定理が従うので、T要素を(可算)整列させて
それら全てについて、自然数による付番が可能である

s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
ここで、対角線上の 0 or 1 をビット反転させると
s　=　(1,　0,　1,　1,　1,　0,　1,　...)
ができる。これは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なる

さてsは、区間[0.1]の無限2進展開の数であるから
s ∈ Tである
一方、背理法の仮定より、Tの元は全て整列させてある（可算整列定理使用）
ところが
上述の通り sは、上記のどのSi (i=1,2,3・・)とも異なるので
s not∈ T である
矛盾が生じたので、背理法により、補題が成立
区間[0.1]の実数の集合が、非可算であることが証明されたので
命題：実数Rは、非可算濃度である も成立■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/133

146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 08:34:01.29 ID:gsEji7DN

>>142-144
>整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
>連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。

やれやれ
証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ）
下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！
英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した
百回音読してね

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof of axiom of choice
The axiom of choice can be proven from the well-ordering theorem as follows.
To make a choice function for a collection of non-empty sets,
E, take the union of the sets in
E and call it X.
There exists a well-ordering of
X; let R be such an ordering. The function that to each set S of E
associates the smallest element of S, as ordered by (the restriction to S of) R, is a choice function for the collection E.■
An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of
R; applying the well-ordering theorem to each member S of E separately would not work, since the theorem only asserts the existence of a well-ordering, and choosing for each S a well-ordering would require just as many choices as simply choosing an element from each S.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/146

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 13:37:18.41 ID:gsEji7DN

>>174
>x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。
>ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。
>雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目）

いやいやｗｗ ；ｐ）
おっさんな

>>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の
”Proof of axiom of choice”などで

（中国版より（英語版でも同様））
『×に整列関係Rがある。
それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。
これにより、目的の選択関数が得られます』

つまり、目的の選択関数は
関係Rに依存する（各集合族で 関係R による 最小元を使う）

そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合（非可算でも）から
一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で

従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び
三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・
などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること

ここは、理解できていますか？
これが 理解できていれば、選択関数は
整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と

つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが
（例え その一部分の場合も含めて）
具体的であることを妨げないのです

えーと、　>>133より
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)
s3 =　(0,　1,　0,　1,　0,　1,　0,　...)
s4 =　(1,　0,　1,　0,　1,　0,　1,　...)
s5 =　(1,　1,　0,　1,　0,　1,　1,　...)
s6 =　(0,　0,　1,　1,　0,　1,　1,　...)
s7 =　(1,　0,　0,　0,　1,　0,　0,　...)
...
　(引用終り)

ここで、
s1 =　(0,　0,　0,　0,　0,　0,　0,　...)＝0
s2 =　(1,　1,　1,　1,　1,　1,　1,　...)＝1
ですねｗｗ ；ｐ）

「だれが、こんな勝手なことやっているのか！？」と怒ってもｗ
それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、
その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/176

184: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 18:43:55.15 ID:gsEji7DN

>>183
レスありがとうございます

>>179
>>”T値列は任意でよい”は、言えない
>じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。

だから、その主張のためには 可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です
つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの 全単射（一対応）の存在が言えます

繰り返すが、下記 ”可算集合の 定義：
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。
すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。”

については、反対はしない
しかし、”可算集合 定義”からは、全単射が一つ存在しさえすれば良い だけです

なので >>133 背理法で 『区間[0.1]の実数の集合Tは、可算である』としただけでは
自然数Nと 集合T との全単射は、抽象的存在であって、一つ存在しさえすれば良い だけだから

そうすると、ある人が 対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに
それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです

その証明をする代わりに、可算選択公理を仮定すれば良いのです
そうすると、繰り返すが 可算整列（可能）定理が使えることになり
『集合Tは、可算である』と宣言した瞬間に、
人はかなり自由に Nと集合Tとの全単射 ができます
即ち、集合Tを整列しさえすれば良い

逆に、可算選択公理を仮定しない場合には、
対角線論法のために作った縦の整列が
果たして ”可算集合 定義”の 全単射となっているか？ の証明が
別途必要になるってことです！ｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
可算集合
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/184

270: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/14(火) 17:22:40.20 ID:rO5NkXOo

>>267
(引用開始)
>つまり、整列可能定理は公理として、有理コーシー列で有理数Qの完備化を可能として
>無理数（超越数を含む）の存在を保証する
は君の発言だよね？　食言ってことは、未だに間違いって理解してないってこと？
(引用終り)

では、下記の通り 微修正をします ；ｐ）

つまり、整列可能定理は公理として、有理コーシー列で有理数Qの完備化を可能として
　↓
つまり、整列可能定理は公理として、x∈R subset A⊂R で 有理コーシー列 a sequence in A＼{x} that converges to x で有理数Qの完備化を可能として(但し、RをcompactにするためDCを使用>>261)

(参考)
　>>236より下記（Equivalent are:1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, ＆ 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.）
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X −→ R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/270

310: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/15(水) 18:43:40.92 ID:ZCTGHyhi

>>309
それ、下記のWell-ordering theorem
”The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]”
とほぼ同じでしょ？

おれが、すでに どこかにアップしてあるよ

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem

Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]

Let the set we are trying to well-order be
A, and let
f be a choice function for the family of non-empty subsets of
A. For every ordinal
α, define an element
aα that is in
A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement
A∖{aξ∣ξ<α}
is nonempty, or leave
aα undefined if it is. That is,
aα is chosen from the set of elements of
A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of
A has been successfully enumerated). Then the order
< on
A defined by
aα<aβ
if and only if
α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of
A as desired, of order type
sup{α∣aα is defined}.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/310

320: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/15(水) 23:39:55.82 ID:HSrNcrvS

つづき

これを、院試の問題と考えて、採点すると
1）P：選択公理⇒Q：整列定理 で
　選択公理と整列定理とを、証明に使えるステートメントに落とし込まないと行けないところが
　これをすっぽかし、証明の頭出しと、最後がスッキリしない 印象の悪い答案になった
（選択公理と整列定理のステートメントを、ビシと正確に書くと、採点者に好印象だろう）
2）いまは、数学的ステートメントは略して 日常語で書く
　P：選択公理 『空でない集合族から要素を一つ取り出す選択関数が存在する』
　Q：整列定理 『任意の集合Aから要素を一つずつ取り出して、整列できる』(Aは、>>310で使われているので合わせた)
　ということね
3）つまり、P：選択公理⇒Q：整列定理の証明で
　任意の集合Aから 空でない集合族を作って そこから 一つずつ要素を取り出す
　ここが、一番のポイントです
4）そういう目で、>>310の wikipedia Well-ordering theorem の証明を見ると
　A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしているんだね
　”∖{aξ∣ξ<α}”の部分は、{aξ∣ξ<α}を除く意味（＝”∖”）だね
　{aξ∣ξ<α}の部分が、既に取り出して、並べた（順序を与えた）部分だな
　よって、これで集合族が出来て
　aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})の fが選択関数です
5）最後の方で、”α<β 　(in the usual well-order of the ordinals)”などと、軽く流している
　要するに、取り出して、並べた（順序を与えた）部分は、通常の順序数と一対応がつくんだよと
　軽く流している。順序を グダグダ言わないの！！
6）さて、この視点で、上記の証明を再度見ると
　・証明の2行目からが、整列をグダグダ書きすぎ。ここ ”(in the usual well-order of the ordinals)”と、軽く流すべし
　・証明すべきステートメントの数学的表現が無い
　　P：選択公理⇒Q：整列定理 が 明確でない
　（つまり、証明のスタートとゴールが不明確！）
　・証明の1行目のみが、スタートの選択公理について述べているが
　　その後 整列させるべき 集合Aからの 選択関数fが使える集合族を作る方に意識が行かずに
　　自明の整列の証明に走ってしまった
　・なので、まあ採点は10点満点で 1か0点か？ 整列の 二項関係 とか グダグダ書いたから お駄賃の1点あるかないかでしょ
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/320

358: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/17(金) 10:33:41.47 ID:MEr9oV+O

>>352-357
>結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない
>数学者は馬鹿でなくてはならない、といった人がいる
>要するに、常に効率のいい方法を求める利口になるな、ということ
>新しい結果を出す最適の方法なんか存在しない

ふっふ、ほっほ
おサルさん>>7-10

１）公開処刑 進行中なｗｗ ；ｐ）
２）おっさんな
　「結局、最後は力で決まる　無駄を承知でやりまくることでしか結果はでない」
　は、一理あるよ
　某数学者が、竹腰氏と共同研究するも、数年間行き詰っていて
　七転八倒、暗中模索の日々
　しかし、運命の女神は、勇者を好む（英語: Fortune favours the bold www.weblio.jp/content/%E5%B9%B8%E9%81%8B%E3%81%AF%E5%8B%87%E8%80%85%E3%82%92%E5%A5%BD%E3%82%80）
　ある喫茶店のコーヒーが美味だったかもしれないが ；ｐ）
　天啓があったという。ポアンカレが、馬車に乗ろうとしたときに、フックス函数が閃いたがごとくだね
３）しかし、それは 最先端、最前線での努力でこそ意味があるよ
　「新しい結果を出す」話だね
４）ふつう 凡人が、レベルの低いところで、[無駄を承知でやりまくる]とか
　数学の天才 オイラーやガウスや、リーマンやポアンカレなどが、いうならば意味あるけど
　おサルさんみたく レベルが低い人の言うことじゃないぞ！ｗ
５）プロ数学者の３０分の思考が、並みの数学科 DR生の１年の思考に匹敵することもざらだろう
　（数学DR生の１年の大半が、文献読みかもね。しかし その文献読みが、DR生の力の養成になる）

碁会所で、万年級位者がいる。級位者同士で毎日へぼ碁をやって、上達しない
囲碁上達の要諦は、強い人に教えてもらうこと（対局してもらう）
また、知識の量を増やす（定石、手筋、死活など）
あるいは、プロのタイトル戦の最新対局を、並べてみるとか（分からないなりにでもね）

これを、数学に直すと
・レベル低いもの同士でなく、できればレベルの高い人に教えてもらう
・”知識の量を増やす”：輪講、自主ゼミとかね
・最新の数学論文を眺めてみる（分からないなりにでもね）

で、さらに言えば
プロ数学者を目指すためと
アマ高段者を目指すためと
アマ有段者を目指すのと
万年級位者で単なる楽しみとするのと

こういうレベル分けもありじゃね？ ；ｐ）
万年級位者のおサルさんよｗ

レベル低いところで、毎日 へぼ碁をやりまくる
いいんじゃない
そういう人、沢山いるよ ；ｐ）

おれは、プロ数学者なんて雲の上だけどさ
おっさんみたいな、”無駄を承知でやりまくる”という
数学の趣味はないのよ！ ｗｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/358

363: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/17(金) 18:03:13.42 ID:MEr9oV+O

>>177
(引用開始)
>これが 理解できていれば、選択関数は
>整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と
じゃあ実数の整列順序を構成してみて
整列可能定理でできるんでしょ？
(引用終り)

”実数の整列順序”に戻る
下記です
・選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
・しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]
・V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合

実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない
例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない
一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]
ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である
例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う

R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる
可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≤ が整列順序となることも、ならないこともありうる

en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という

また位相的特徴付けである次を定義として採用することも出来よう：非自明な順序体であって順序位相に関して連結なものは唯一つに定まる（アルキメデス的順序群に関するHölderの定理による）。これを実数体と呼ぶ。実数体の元（＝要素）を実数という

これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2]

注釈
[脚注の使い方]
1^ この性質を順序完備性と呼ぶことがある。実数体においては特に「上限性質」という呼称で呼ばれることが多い。なおこの性質には実数の連続性にある通り同値な言い換えが複数ある
2^ これは正確に述べると「実数体の定義を満たす二つの順序体は順序体として同型（＝順序同型かつ体同型であるような写像が存在する）」という意味である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/363

404: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 18:45:07.01 ID:yCcyDMub

>>310より再録と補足
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be
A, and let
f be a choice function for the family of non-empty subsets of
A. For every ordinal (number) α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering
(or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

1）さて  海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします）
Set Theory
T Jech 著 · 1997 ·  The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）

2）ここで、選択関数を書き直すと
　f： A∖{aξ∣ξ<α} → A∖{aξ∣ξ<α} となる
　>>320に記したように、選択公理の A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしている
　集合 A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は、元の集合A以下だ（∵ Aより ∖{aξ∣ξ<α} の分だけ減少している）

3）繰り返すが 集合族 として Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} と書き直すと
　∖{aξ∣ξ<α}によって、集合 Aの元 aξ をどんどん減らして 最後空になるまで続けるのだから
　順序数 ξを集めた 集合も その濃度は Aを越えない

4）よって 再度強調するが、いま 上記 選択公理→整列可能定理の証明で扱うとき
　集合族における 各集合 Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は 元の Aを越えない

なので、>>390に引用した ”定理　選択公理⇒整列定理”の
『Xの任意の空でない部分集合Y』を考えて べき集合2^X を考える必要は 多分全くｗｗ 無くｗｗｗ
上記 Jech, Thomas の 証明においては、全く不要であって　過剰であると 言える！■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/404

409: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 23:39:58.57 ID:yCcyDMub

公開処刑 part2 ；ｐ）
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

1）そもそも、これ 整列に関する 2項関係の定義になってないよぉ ；ｐ）
　”全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る”
　が全くのデタラメ ；ｐ）
2）全順序律という用語は、下記 「完全律」というそうですよ
　そして、下記 数学の風景 二項関係とは で
　『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
　A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
　(x,y)∈R のことを，xRy ともかく』とある通りです
　（Rは実数ではなく、関係のことです）
　それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない
　A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです！
3）ところが、『fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b』と流して、”a≦b ∨ b≦aを得る”？
　例えば、整数1と2で、『fの定義よりf({1,2})=1 ∨ f({1,2})=2』と流して、”1≦2 ∨ 2≦1を得る”としたら？
　1≦2 or 2≦1 のどちらかを決めないと いけないところが、上記定義では ”1≦2 ∨ 2≦1”のままで決まってない
　同義反復というか、循環している・・・
4）さらに、反例を挙げると、空でない集合Xとして 実数Rを取ります
　実数Rについて、「二項関係≦を ∀Y⊂R.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」として下さい
　それで、『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』？
　それ 実数Rの整列の最小元の存在証明どこにあるの？ 自明？ ；ｐ）
5）さらに、空でない集合Xとして 複素数Cを取ります
　複素数Cに対し、「二項関係≦を ∀Y⊂C.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」？
　そんな簡単に、複素数C そもそも 全順序が入るのか？ そして
　『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』ってｗ？

お気楽な話ですなｗ ；ｐ）
大学1年で集合論を習いたての書いた証明なら、まだ かわいいが
数学科修士卒を鼻に掛ける男の証明がこれかい？
証明の体をなしていないねｗ ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/409

464: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/19(日) 20:57:54.47 ID:RlRmaz0L

>>441
>　Jechの証明のfから上記の性質を持つfに改造できればいいってことで
>　多分いろいろやり方はありそうだけ
>　（たとえばfが半順序になるところまでなんとか持って行って
>　　ツォルンの補題を経由して証明するとか）
>　一番簡単なのはJechの証明の方法でとにかく整列しちゃうってことですかね
>　ということで意図が分かると、
>　阪大工学部卒の凡人が貶すほど酷いものでもないとわかりますね

おサルか？ｗ >>7-10
自分が書いた証明を、他人になりすまして
評論か？ ばれて居るぞ！ｗ ；ｐ）

>>422
(引用開始)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
Let the set we are trying to well-order be A,
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）
(引用終り)

それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ
頑張れぇ〜！ｗｗ ；ｐ）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/464

473: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 15:58:24.24 ID:7RKCNKc8

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

さて >>465 より
(引用開始)
”we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.”
ああ、ごめんごめん。きみ、英語全く読めないニホンザルだったな。翻訳しとくわ。
「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」
(引用終り)

それでな おサルさんよ>>7-10
もう一度 君の証明と対比するよ
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

一方 >>464 より
それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

さて
１）両者を対比すると、その差歴然
　おサルはど素人。Thomas Jechの 証明は、プロ！
２）おサルで首肯できるのは、１行目だけ
　２行目からスベっていますｗ ；ｐ）
　”X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する”
　って、それ 全く定義の体をなしていないことは、すでに指摘した
３）ある順序 aRbが与えられたとき
　それが 整列順序であるか否か？
　下記 尾畑研 整列集合：すべての空でない部分集合が最小元をもつ
　ここの扱いが一番難しい
　ところが、おサルの証明は
　『≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから』とスベっているｗ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/473

486: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/21(火) 16:52:48.66 ID:N2eH+PDU

つづき

再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

おサルは、『並べる前から集合族 A∖{aξ∣ξ<α}だけ取り出せるか？
　答えは否』というけれど
おサルは、Jech氏の証明について
”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
を、集合Xに対して、任意の部分集合に対して、順序数との対応が 付けられて それを使って”induction”が可能だと
読んだ

ところがところが、もしそれが可能ならば 例えば実数集合R={r1,r2,・・ri,・・rj,・・,rt,・・}として
これに対して、各単元集合 {ri}, {rj} に なにか順序数を振り当てることができて
αi →{ri}, αj →{rj}, などと順序数との対応ができて
αi ≦ αj とすれば ri ≦ rj の順序が可能で
これは、任意の元 rt に対して 順序数αtとの対応ができて 順序数が整列だから
実数集合R が整列できてしまう

これが、任意集合Xに対する 部分集合で 順序数との対応が可能というならば
その時点で、整列可能定理の証明は、終わってしまい、その後は不要ですな！■

同じ欠点が、>>473に引用した 選択公理⇒整列定理 の証明にも言えて
集合Xの任意の空でない部分集合Y に 二項関係を導入して それが 整列順序だと 証明して
そこから、もとの集合Xの整列順序の可能を証明する

まあ、単純明快だが、欠点は 集合Xの任意の空でない部分集合Yの集まりは、べき集合2^X を成すので
もとの 集合Xを扱うよりも、圧倒的に 難しくなる
（集合X=N(自然数)に対して、2^X＝R(実数)となってしまうことから、明らかだね；ｐ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/486

504: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 10:37:48.99 ID:XJPGzntw

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

>>498
(再掲)>>497より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.

という具合に、後付けで、簡単に ”注）＊” とでも やっておけば、それで済む話では？
要するに、
”the family S of all nonempty subsets of A.”は、ZFのべき集合公理から従う
Aのべき集合公理を、いつものようにP(A)と書く。P(A)は、空集合Φを含むので
the family S＝P(A)＼Φ と書ける
分出公理を使うと、Sの部分集合として
{A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・}
これから 集合族 が出来て
A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・
集合族は、順序数で添え字付けられている と考えることができる
この集合族に、選択関数を適用すれば良い

”Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.”
で大概の人は分かる

初学者向けに（君のために ；ｐ）
”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
と書けば、多少親切ってことかな ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/504

510: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 16:07:47.30 ID:XJPGzntw

>>508
(引用開始)
じゃ、fを表に出しなよ
A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…
↓
f(A),f(A∖f(A)),f((A∖f(A))∖f(A∖f(A))),…
定義域の集合族を{A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…}に制限したいらしいけど
それ中のfを全部消さないと、循環論法でアウトだから
(引用終り)

ふっふ、ほっほｗ ；ｐ）

(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)

さて、この en.wikipedia Well-ordering theorem の
Proof from axiom of choice by 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory で
ここの記載 ”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.”
が、循環論法だと？ 気は確かか？ｗ

”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”において
明らかに f 選択関数 で
定義域の集合族 A∖{aξ∣ξ<α}  これが、関数の入力で
aα が、関数 fの出力で a ∈A で
aα は aが順序数αで添え字付けできたことを表す
順序を ”defined by aα<aβ if and only if α<β”とすれば
aは、整列できたことになる
（ここ aα<a'β とでもしておく方がいいかもね ；ｐ）

で、循環論法だと？
おれに言わずに、Jech, Thomas にお手紙書いてね
返事が来たら、ここにアップしてくれｗｗ ；ｐ）
笑える おサルさんよ>>7-10 ｗｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/510

547: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 18:26:22.65 ID:OWxAi42s

>>541 つづき
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
１）ZF上で、コーシー列が収束することは言える
２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち
　従来知られている 実数の位相的な性質 完備距離空間だとか なんだとか いろいろ 言える
３）下記 ZF＋可算選択公理では、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
　が、 Equivalent が言える。が、そこまでで詰み（従属選択公理DCでどうなるかは 不明だが、ソロベイモデルがあるので もっと言えそう）
４）以上より、ZF上で なんらの選択公理を仮定しないならば、”コーシー列が収束すること”までで詰みかも ；ｐ）

(参考) >>84より 再録
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/547

553: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 21:16:44.08 ID:y/IThbaj

>>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)

>>318 より
　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど
(引用終り)

横レス すまん
ベルンシュタインの定理とか、選択公理がいるとか 要らないとか言われるが（下記 en.wikipedia）
それはとこかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem
Schröder–Bernstein theorem
Prerequisites
The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice.

On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory
IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20]

There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/553

558: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/24(金) 07:59:06.85 ID:U1RMCmJs

>>557
>　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？

同意です
その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった
『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』
とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。
この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。
略す
(引用終り)

>　それ、論点先取
>　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから

そうかも
いま、基礎論の教科書を書いているとする
そうすると、整列可能定理の証明前に、任意集合Aが なんらかの濃度を持つという
集合の濃度の章（or 節）を、すでに書いているかどうか（書けるかどうか）
だね

>>556
>「ZFで実数は存在しない」

・ZFで、有理数のコーシー列の収束が言えて
　それらの集合の存在が言える
・それらの集合をＲと名付ける
　では、集合Ｒの性質はどうか？
・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
・ここから先、つまりリンデレーエフ空間より先
　デデキントやカントールが成したような 実数の公理を満たすところまで進むには、
　可算選択公理とのEquivalentを破る
　可算選択公理の上位の選択公理（従属選択公理DC や フルパワー選択公理AC）が必要■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/558

572: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/24(金) 15:13:58.53 ID:BCvEAUed

>>526 追加
(引用開始)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第13章 整列集合
定理13.18 (超限帰納法)
略す
ふつうの数学的帰納法は超限帰納法の整列集合Xとして自然数Nをとったものである
また超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる
たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある
これを再帰的定義または帰納的定義という
ここで正確な主張を述べるのは難しいが X=Nの場合は第15.2節で扱う
(引用終り)

下記の近藤友祐 集合論ノート0003
「整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法」
が参考になるだろう

なお、近藤友祐氏は、神戸大学 工学部出身らしい
だれか、「工学部では、数学の難しいことを教えないだろう」とか、テメエのレベルも省みず宣うやつがいるが
だれが見ても、おサルより>>7-10 近藤友祐氏のレベルが上でしょｗ ；ｐ）

(参考)
https://elecello.com/
近藤友祐 2014 年 神戸大学 工学部 電気電子工学科 入学
（2011 年 11 月 03 日 第 12 回 日本数学コンクール論文賞 銀賞 受賞
　神戸大学数学研究会 POMB で代表を務めたり 略 していました）
https://elecello.com/doc/set/set0003.pdf
集合論ノート0003
整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法
近藤友祐 初稿: 2017/09/05

整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法について述べる．

例えば，ONは整列クラスゆえに整礎クラスだから，ON上の超限帰納法や超限再帰法が正当化される．また，メタ数学的な注意を払った上で，整礎集合や整列集合上の超限帰納法や超限再帰法も正当化される．

整礎クラスに対する超限帰納法の証明の中で，推移的閉包を構成する．この構成は，自然数上の再帰によって行われる．超限再帰法を根拠づけるのに再帰を用いるのは循環論法ではないか？と思われるが，事前に順序数論を展開し，自然数全体を有限順序数全体として定義しておくと，の上で帰納法，再帰法が使えることがわかる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/572

583: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 09:00:51.33 ID:vKwDmbNO

>>580
うーん

(引用開始)
>>557 ID:knZwyXgJ さん
>>553
> いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　それ、論点先取
　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
(引用終り)

だった
つまり、
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.

あるいは
海賊版のThomas Jechの 証明を 転記>>464
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A.

ここで
order type sup{α∣aα is defined}
と
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
とが対応して、同じ意味だと思う

いまの議論で、選択公理→整列可能定理 の証明中で
”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか？

整理すると
ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて
一方で、順序数の理論体系が出来ていれば
集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから
”order type sup{α∣aα is defined}”が言える（なにか上限があるってこと）
但し、整列可能定理を陽に使っていないこと

それ以外にも、
任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ？ （背理法）
も考えられる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/583

604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 19:24:01.66 ID:vKwDmbNO

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>598 補足
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)

1）このJech氏証明のキモは、集合Aから 要素を
　a0,a1,a2,・・と取り出して
　そのときの選択関数の入力の集合が
　A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって
　選択関数f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα（つまりaα= f(A∖{aξ∣ξ<α})のこと）
　と書ける
2）これは、選択公理 により、選択関数fの存在が保証されているから、許される
　ここで、要素 a0,a1,a2,・・ 達は、順序数 0,1,2,・・ による添え字付けが出来ているのです
　この順序数 添え字の 整列を使って、 a0,a1,a2,・・ 達に 整列順序が導入できている
　また、同時に 要素 a0,a1,a2,・・ の整列も得られている
　これぞ、選択公理→整列可能定理の証明だ ってこと
3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

では、Aの冪集合P(A)の整列で 同じことをやると
P(A)で”sup{α∣aα is defined}”の相当する部分が
どうなるかが問題となる

同じように考えると、P(A)の冪集合P(P(A))を考えるべしとなって
繰返しが起きる。これはまずい

集合Aの整列順序のために、べき集合P(A)の整列順序を考えるべき
そうすると、そのまた冪集合P(P(A))を考えるべき・・
と無限後退してしまう
それ、面白すぎじゃね？

だから、A自身の整列可能性と Aの冪集合P(A)の整列可能性は、切り離すのが良さそうだね
そういう結論ですなｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/604

606: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 20:04:24.66 ID:vKwDmbNO

>>604 補足
>3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

1）集合の濃度については、下記のja.wikipediaの通り
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
　ノイマン流（選択公理を仮定する）と
　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　がある
（これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」）
3）いま、>>604のように、選択公理→整列可能定理の証明だけ 考えるならば
　ノイマン流でも可だが
　逆の整列可能定理→選択公理 において
　「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」に、選択公理が必要だとなると
　循環論法の可能性がある*注
4）スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　ならば、「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」として
　整列可能定理→選択公理の証明に使っても 問題なし■
*注：『集合族の和集合において、その濃度が決まり、順序数の上限が決まる』とする部分が
　必要であるならば
　スコットのトリックを使う方がスマート

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
濃度 (数学)
濃度（英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]。

厳密な定義
（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、X が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、X を空でない集合としたとき、集合 S に {S} × X を対応させる写像を考えることによって、宇宙から [X] への単射が存在し、サイズの限界（英語版）より、[X] は真のクラスである。

フォン・ノイマンの割り当て
選択公理を仮定すると集合 X に対し濃度 | X | を | X | := min{α ∈ ON : |α| = | X | } と定義できる 。
これをフォン・ノイマンの割り当てという。

スコットのトリック
正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に（そのクラスの部分クラスとなる）集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、 整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることができる（詳しくはスコットのトリックを参照）。
| X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」
どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/606

616: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 08:41:01.73 ID:57hfZFiX

>>615
>なぜなら重要なのは
>>sup{α|aα is defined}
>であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。

あたま腐ってない？
　>>612に例示したように
自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき
可能な列の最小長さは ωで
あと任意 ω・m (m>2の自然数)と出来て
ω・ω も可能なんだろうね
だが、非可算のω1には 到達できない
並びは、一意ではない。>>583 "as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより)
だよ

>>611
>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。

??? なんだそれ？

>>609
>ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する
>（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない）
>CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな

ZFで可算選択公理さえ採用しなければ、当然だろ？
そもそも、可算選択公理なしでは 可算集合Aさえ整列できない
Cantorは、暗黙に可算選択公理を前提としていたというが、かれの現役時代は選択公理を知らない
しかし、Zermeloが選択公理を導入したから、Zermeloは すぐ理解するだろう

>>586
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？

なんだそりゃ？
選択関数が分ってない？
あのさ、数学科の学部1年か2年がいうなら、独創的な発想だね とか まだかわいいよ
しかし、30年前に 数学科修士を卒業して よって あれから30年経つ人がいうか？
「あなた、全く数学の才能ないね？！」でしょ
それだと、大学数学科行っても、チンプンカンプンで終わったろうさ ；ｐ）
やれやれ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/616

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう

1）
　>>486より 再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

2）
また
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
つまり、関数で書くと
・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα

"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
妄想沸いてるよ ｗ ；ｐ）
定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/631

652: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 22:30:33.59 ID:57hfZFiX

>>651
(引用開始)
>選択関数fの 定義域を
>集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
>必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ）
じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて
(引用終り)

1）ふっふ、ほっほ
　>>631より 再度転記しますｗｗ
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

2）で 上記 T Jechの証明で尽くされているんじゃない？
　何も足さない。何も引かない。他には 何も必要ないｗ ｗ ；ｐ）
3）現代的定義では、関数とは 写像（対応）だよね
　いま 実数R→R の指数関数f(x) =a^x (a > 0)があったとする
　定義域 R を、有理数Qにする、あるいは整数Zに、あるいは自然数N に狭めることは可能だ
　なぜならば、関数とは 写像（対応）だから
　それぞれ 関数を Q→R,Z→R,N→R の対応と考えれば良いだけのこと
　逆に、定義域 R を、複素数Cに拡張することもできる。そのとき、値域もCになるが
　複素数関数 C→C f(z) =a^z | z∈C となる
　このように 現代的定義では、関数 即ち 写像（対応）の定義域は、自由度があるのです
3）選択関数についても同様だし
　そもそも、定義域は ”集合族”としか規定されていない
　だから、Thomas Jech のように aα=f(A-{aξ：ξ<α}) とすることに、だれも文句はないはずだ
　どこかの 偏屈の二人以外はね ｗ ；ｐ）
4）選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろという
　別に構わんよ。>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』とするんだって？
　それは、選択公理そのものだから、それはだれも禁止していないし、選択公理を認めれば だれも それは否定できない
　だが、あっても邪魔には成らないが、Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない！！■
以上 ｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/652

667: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/27(月) 12:12:35.09 ID:CtxJncrm

つづき

さて >>652より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、まず 集合族 A-{aξ：ξ<α} に 注目しよう （ なお A-{aξ：ξ<α} ⊂ A も注意しておく）
これは、上記 1.7. Axiom Schema of Replacementで class F function, exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}.
における F(X)のネタを仕込んでいると思え

そして、次に the family S of all nonempty subsets of A の部分に注目すると
Aのべき集合P(A)から空集合Φを覗いた P(A)-Φ の要素が、the family Sってことだね
さらに、A-{aξ：ξ<α} ∈ P(A)-Φ だね

ここから Axiom Schema of Replacementの class F function を使って P(A)-Φの部分集合として
集合族 A-{aξ：ξ<α} を要素とする 部分集合を構成できる
{A,A-{a1},A-{a2},・・・}だね

ここで、Axiom Schema of Replacementの class F function を使っていることを念押ししておく
これが、選択関数と異なることは、”Y=F(X)={F(x):x∈X”とあって、F(X)の定義域は ただ一つ Xから分かる(いまの場合 X＝P(A)-Φ)

さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて
０：A-Φ → a0
１：A-{a0} → a1
２：A-{a1} → a2
　・
　・
　・
のように A-{aξ：ξ<α} が空集合になるまで続ける
一見 集合族の構成が （選択公理による）循環論法に見えるが、順序数による 超限再帰（あるいは超限帰納）を認めればよい
（また そもそも、集合族 A-{aξ：ξ<α} を P(A)-Φ から取り出すところは、 置換公理関数で ”Y=F(X)={F(x):x∈X”の定義域は、 ただ一つ X＝P(A)-Φであるから 選択関数とは全く異なることは見易い）
上記の 選択関数による aα たちの構成は、選択公理により 許される■
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/667

674: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/27(月) 13:20:51.05 ID:CtxJncrm

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

ご苦労様です。
>>668-670
>それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま

それ、”選択”という日常語に 流されている
選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ
”P(A)-Φ”という 定義域が ただ一つならば、置換公理の関数で間に合う

つぎに
>"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A.
>That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A."
>「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列（aα：α＜θ）を構成すれば十分である。
>　これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」
>「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな　なんで？

いいかな
無限集合Aの 空集合を含まない べき集合P(A)-Φ（空集合を除いておく）で
いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ
のように、無限の濃度ランクが一つアップする ことを 注意しておく

さて、以前にも書いたが、
１）Aに 順序数の付番付け をするために、そのべき集合P(A)-Φの 順序数の付番付け が必要とする考えは
　無限後退になるので まずい。（そのまた べき集合・・・となるから）
２）また、べき集合P(A)-Φに 順序数の付番付けができたとしよう
　そのままでは、>>667の Jech氏の意図した {A,A-{a1},A-{a2},・・・} の 順序数の付番付けにならない
　∵ 例えば、Aが可算だとして べき集合P(A)-Φの 順序数の付番付けそのままでは
　非可算レベルの順序数の付番付けが混じってしまう から
３）よって、"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A.
　That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A."
　のJech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として
　{A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね
　そして、a1、a2、・・・は、決して一意ではなく、as desired であることも注意しておく（>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/674

709: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 11:18:59.62 ID:C6l4Y3jA

血の巡りの悪い人がいるね
では、再度>>666-667の説明を 補足しよう

>>667より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）これで、キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ
　f 選択関数、A-{aξ：ξ<α} が、定義域（入力）の集合族で 順序数の添え字が α
　値域（出力）が aαで、Aの要素a∈Aに、順序数の添え字 α がついて aα となっている
２）そうすると、定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？
　それが、問題となる
　Jechは、”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”と記す
　以下、くだけた表現を使う
　繰り返しになるが 集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む
　そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く（これは定義です。Φは空集合）
　そして、P(A) -Φ を再度 P'と略記しよう
３）上記の Jech証明と照らすと、A-{aξ：ξ<α}  ∈ P' である
　なので、P' から  A-{aξ：ξ<α} を要素として取り出して 部分集合 を 形成することを考えると
４）やっていることは、P' から まず Aを取る
　次に Aから一つ要素が減った A-{a0} を取り
　さらに、二つ要素が減った A-{a0,a1} を取り・・と続ける
５）Jech 流の表記では、A-{aξ：ξ<α}となる
　こうして、P'の部分集合 として 集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて
　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる
　この関数は、選択公理で許される 選択関数である
　P'の部分集合 として 集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える(>>667)
　また、順序数の添え字 α による 超限帰納（or 超限再帰）も使える
６）さらに付言しておくと、集合Aから最初に どの要素を取り出して、次に どの要素を取り出して ・・・
　と続けることを考えると、集合Aの並びは 大きな自由度があり、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある
　つまり、いま A={a,b,c,d}と４つの要素からなるとすると
　最初の文字は4通り、次は3通り・・ となり 全体で4！通りになる（要素 有限nなら n！通りになる）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/709

760: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 20:42:19.43 ID:n4GbW2On

>>752-753
さて
　>>667より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて
その部分集合として
Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る

集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる
部分集合を作る公理は、置換公理を使う(>>667）

この 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合は
{A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、集合A と同じ濃度だ
（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応）

よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合も可算
なので、可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて
可算集合Aの整列が 可能

このJech類似の証明と 君の　>>739より
Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、
∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。
(引用終り)

を比較すると、Jech類似の証明もまた良さがある
つまり、整列可能定理とは、集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
有限集合で行うことを、任意の無限集合で実現するもの

上記の Jech類似の証明もまた 可算集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
ことをしている　”as desired”に （>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ）

君の >>739の証明では、可算Aと Nとのなにか 全単射の存在のみ言えるが
本来 整列可能定理が持っている ”as desired”に 集合Aから要素を一つずつ取り出して並べる
が、言えていない。可算選択公理を仮定しない分 そこが弱い

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/760

778: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/29(水) 14:53:40.29 ID:s7oLTcE3

>>764-770
>「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ
>ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要

選択関数と 普通の関数の区別分かっている？

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
Formally, this may be expressed as follows:
∀X[Φ not∈ X⟹∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A) ]

ここは式が複雑なので原文を見るのが良いが、”f(A)∈A”が一番の要点、つまり 集合族の全てのAに対して f(A)=a ∈A が成立しているということ
f(A) が、選択関数で fが選択関数だ
f(Ai)のようにAに添え字iを付けた方が分かり易い （iは可算(自然数など)とは限らないが）
”∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)”なので
f；X→Ai→ai∈Ai のように、→が2段になっている（なので{ai}は、Xの部分集合ではない）

下記の 尾畑研 f：R→R では、y=f(x)でx→y もっと書けば、順序対(x,y) で
"公理論的集合論と写像" の如く、"直積集合の部分集合X x Y"だという

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf
尾畑研 東北大 2018
第4章写像
公理論的集合論の立場では、考える対象はすべて集合であるから写像もまた集合として導入される
直積集合の部分集合X x Yで定理4.1 (ii)に述べた性質をもつものを写像の定義とする
必要に応じて対応としての写像f：X→Yを導入すればよい

これを踏まえて >>763 Thomas Jech
To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα:α<θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A■

ここで、Sが我々の考えているP'=P(A)-{Φ}だとして
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える）

さらに、下記の包含関係が成立している
A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・

だから、順序数の添え字付けも、この点からも首肯できる
その上で、Jech氏証明の 選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα
この関数は、A-{aξ：ξ<α} が集合族で定義域で
関数値の aαは、上記 包含関係の列の 前後の項の差分 だと思えば良い

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/778

792: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/29(水) 18:13:21.64 ID:s7oLTcE3

>>778 補足
(引用開始)
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を 下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える）
(引用終り)

＜補足＞
１）かように、Aのべき集合全体(空集合抜き)の選択関数は不要
２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
３）調べると 可算集合Aを整列させるためには、従属選択公理が必要とある
（下記の独 de.wikipedia ご参照。en.wikipediaにも類似記載あり。
　即ち、”to construct a sequence using countable transfinite recursion”
　なお、Axiom of countable choice en.wikipedia は、”for every n∈N”つまり、順序数の長さでω（＝N）が限界）

(参考)
de.wikipedia.org/wiki/Axiom_der_abh%C3%A4ngigen_Auswahl
Axiom der abhängigen Auswahl
(google 英訳)
axiom of dependent choice
use
The axiom of dependent choice is a sufficient fragment of the axiom of choice to construct a sequence using countable transfinite recursion .

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
Use
The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices.

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function
A with domain  (where N denotes the set of natural numbers) such that
A(n) is a non-empty set for every
n∈N, there exists a function
f with domain N such that f(n)∈A(n)
for every n∈N.

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/792

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.058s