[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋27(あほ二人の”アナグマの姿焼き”ｗ) (1002ﾚｽ)
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624(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/25(月)20:49 ID:PVFg9nt/(3/4) AAS
つづき
Examples
(google訳)
コレクション内の個々の空でない集合の性質により、特定の無限コレクションに対しても選択公理を回避できる場合があります。たとえば、コレクションXの各メンバーが自然数の空でない部分集合であるとします。このような部分集合にはそれぞれ最小の要素があるため、選択関数を指定するには、各集合をその集合の最小の要素にマッピングすると言うだけで済みます。これにより、各集合から要素を明確に選択できるため、集合論の公理に選択公理を追加する必要がなくなります。
困難が生じるのは、各集合から自然に要素を選択できない場合です。明示的に選択できない場合、選択が正当な集合 (集合論の他の ZF 公理で定義されているように) を形成することをどうやって知るのでしょうか。たとえば、X が実数のすべての空でない部分集合の集合であるとします。まず、 X が有限であるかのように進めてみるかもしれません。各集合から要素を選択しようとすると、X は無限であるため、選択手順は決して終了せず、結果として、X全体に対する選択関数を生成することはできません。次に、各集合から最小の要素を指定してみるかもしれません。しかし、実数の部分集合の中には最小の要素がないものもあります。たとえば、開区間(0,1) には最小の要素がありません。つまり、 xが (0,1) 内にある場合、 x /2 も内にあり、x /2 は常にxよりも厳密に小さくなります。したがって、この試みも失敗します
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
省14
629: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/26(火)00:03 ID:Kei/fUvv(1/4) AAS
>>624 補足
>ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。
ここen.wikipediaでどうなっているかというと、下記
”However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals”
で、しかし V=L（構成可能公理）は、『大多数（の集合論者）がそれは偽であると信じています』だってｗ ；ｐ）
ともかくも、en.wikipediaのチェックは必要ですな ；ｐ）
(参考)
省12
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