スレタイ箱入り無数目を語る部屋27(あほ二人の”アナグマの姿焼き”ｗ)

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529: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/24(日) 08:48:34.23 ID:pyyDnAPQ

つづき
2）
MathOverflow
mathoverflow.net › questions
2009/12/18 — But why should there be a definable Vitali set? Of course, some models of set theory have definable Vitali sets, because sometimes there is ...
回答 2 件
ベストアンサー:
(Edit.) With a closer reading of your question, I see that you asked for a very specific notion ...
What is the least α such that Lα contains a non-measurable set
2024年9月10日
Measurable and definable sets - MathOverflow
2013年10月20日
Is definability of a basis for - R - N - independent of ZFC?

3）
Springer
link.springer.com › article
VG Kanovei 著 · 2017 · 被引用数: 33 — The consistency of the existence of a countable definable set of reals, containing no definable elements, is established.
What does the Axiom of Choice know about when creating ...

4）
Quora
www.quora.com › What-does-the-Axiom-of-Ch...
Vitali sets were one of the first examples of a non-measurable set. ... For other reasons it's fairly plausible that no Vitali set is definable.
回答 5 件
As others answers have already remarked, the Axiom of Choice is a mathematical statement - and ...
(引用終り)

この最後のQuoraの回答より
Samuel Gomes da Silva
Ph.D. in Mathematics & Set Theory, University of São Paulo (USP) (Graduated 2004)Author has 660 answers and 242.8K answer views3y
As others answers have already remarked, the Axiom of Choice is a mathematical statement - and so it does not “know” about anything.

What possibly the OP was asking about is what do we “know” or “see” when we invoke the Axiom of Choice in order to get the Vitali set. Well, the Axiom of Choice is regarded as a non-constructive statement, so we do not have an algorithm or something like that in order to properly “construct” the Vitali set. We only use the Axiom of Choice to assert its existence, and that’s all.

The existence of free ultrafilters over the naturals is also a non-constructive statement: it follows from the Axiom of Choice, but it is a weaker assumption. Sierpinski has proved in the 30’s that a free ultrafilter itself (identifying its members with their characteristic functions and then with the corresponding real numbers of the unit interval written in the binary base) is a non-measurable subset of the real line. So, if you wanna “see” something, after assuming the existence of a free ultrafilter over the naturals (and this remains to be a non-constructive process, do not forget about that) then the verification of its non-measurability is somehow more intuitive than the procedure with Vitali sets, IMO.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/529

542: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/24(日) 13:48:15.76 ID:pyyDnAPQ

>>539-541
(引用開始)
>ならば、それは 数学で一般にいう”一意化”ではない
　君は一意的＝一意化と思ってるが、それは誤解
　的と化は違う文字、一意的でないのを一意にするから一意”化”
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E6%80%A7_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
一意性（uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である
(引用終り)

>>536より
存在していれば、一意化できる
一意化できるならば それは 存在している
"存在している←→一意化できる"が成立
"存在している"と"一意化できる"は同値！■

さて>>527より『”it is consistent that no such set is definable.[8]”この it は、ヴィタリ集合』
を認めよう

つまり、”no Vitali set is definable”（>>529） ヴィタリ集合は、definableではない
”Axiom of Choice is regarded as a non-constructive statement, so we do not have an algorithm or something like that in order to properly “construct” the Vitali set. We only use the Axiom of Choice to assert its existence, and that’s all.”by Samuel Gomes da Silva Ph.D.

ヴィタリ集合が definableではないことから
箱入り無数目のR^Nが definableではないことが導かれる
いま、区間[0,1]内のヴィタリ集合をVと記す

＜略証＞
1）有限小数環 10進数：U を考える
　任意有理数q∈Q は、無限小数展開ができる(しっぽが、巡回する。有限小数は あるところから 0000・・となる)
　任意実数r∈R は、無限小数展開ができる(しっぽが巡回しない場合がある)
　有限小数の集合は、和と積で閉じているので 環になる
　U⊂ Q ⊂ R が成り立つ
2）商 Q/U は、有理数Qを しっぽの巡回パターンで類別することになる
　つまり 1/3=0.33333・・・ と 2/3=0.66666・・・ とは別の類に属する
　1/3＋有限小数は、同じ類に属する。例えば 1/3＋0.111==0.44433・・・ となる
　あるu∈U があって
　q,q'∈Qで q-q'=u∈U であれば q,q'は 同じ同値類に属する
3）繰り返すが、Q/U 有理数Qを しっぽの巡回パターンで類別したもの
　よって R/U は、 R/Q をさらに細く 類別したものになる
4）いま Rの部分集合で区間[0,1]を考える
　r∈[0,1] は、無限10進数展開で
　r＝0.r1 r2 r3 ・・rn ・・ と表現できる （rn は小数第n位で rn∈{0,1,2,・・,9}）
　集合{0,1,2,・・,9}を (10)と略記すると
　つまり、区間[0,1]の無限10進数展開は、集合としての(10)^N と対応がつく

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/542

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