スレタイ箱入り無数目を語る部屋27(あほ二人の”アナグマの姿焼き”ｗ)

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427: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 09:25:52.84 ID:dngn2gaF

>>402
>　選択公理は代表の一意的な選択を可能としない
>→代表選択関数を１つ決めれば、述語論理の存在消去の推論が使えるのでアウト

これ、面白いし ”箱入り無数目”の理解にも繋がるから
少し掘り下げておく

”選択公理は代表の一意的な選択を可能としない”
で、以下背理法による
まず”選択公理は代表の一意的な選択は常に可能”と仮定する

反例を一つ示せば良い
下記のヴィタリ集合の構成が 反例になる

ヴィタリ集合 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
で、”構成と証明”より
『有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
　R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v − r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、
u,v∈V,u≠v であれば v − u は必ず無理数である』

さて
＜補足＞
1）商 R/Q の同値類の代表は、本来は R全体に広がっているものだ
2）それでは ”一意”に不都合なので 上記のように 区間[0, 1]に集約することは可能
3）しかし、区間[0, 1]に集約しても ”一意”な代表には ほど遠い
4）もっと ”一意”に近づけないか？
　しかし、それは無理。人は、具体的な 商 R/Qの代表を持たない
　例えば、円周率πと対数の底e で π-eや π+e が、有理数か無理数かさえ 現時点では不明（下記 超越数 ご参照）
　だから π-eや π+e が出てきたとき これらの数が 既に Qとして代表が取られているのか？
　はたまた 新しい R/Q の代表として 取り上げるべきかが いまの人類には判断できない
　もっといえば、π-eと π+e を 別の類別とすべきかも判断できない！
5）まとめると、”数学的”に規定可能な条件を 選択公理に加えることは可能（例えば 区間[0, 1]から代表を選べ）
　しかし、(今の)数学で規定不可能な条件を 選択公理に加えることは無理ですｗ
　つまり ヴィタリ集合 一次元空間で R/Q さえ 代表の”一意”化は無理！ｗｗ
　まして、無限次元空間 R^Nのしっぽ同値の代表の”一意”化は絶対無理！ｗｗｗ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,eπ,・・ などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/427

429: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 09:44:31.94 ID:dngn2gaF

>>427
>　選択公理は代表の一意的な選択を可能としない

蛇足だが
選択公理は、普通は無理だが 数学の思考として 破綻しないレベルで
不可能を可能とするべく 置かれた 公理だということです（下記）
選択公理は、ある方が便利ってことです（ちょっとパラドックス的結論も出るけど・・ｗ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。

選択公理と等価な命題
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
直積定理
無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
右逆写像の存在
全射は右逆写像を有する。
ケーニッヒ（Julius König）の定理
濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。
チコノフの定理
コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。
クルルの定理
単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。

歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった。
クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう。
ZFに一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、1926年にアドルフ・リンデンバウム（英語版）とアルフレト・タルスキが示したが証明は散逸したとされる。同内容を1943年にヴァツワフ・シェルピニスキが再発見し1947年に出版した。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/429

444: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 10:32:07.09 ID:dngn2gaF

>>430
(引用開始)
>”選択公理は代表の一意的な選択を可能としない”
選択公理は代表選択関数の存在を主張している。代表の一意的な選択の可能性について何も主張していない。
基本中の基本から分かってない。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
・分っていないのは、あなたとおサルさん>>25 の二人 ですｗ
・選択公理で 同値類代表の一意的な選択が可能な場合と 不可能な場合と、二つに分けられる
・一意的な同値類の代表が可能な典型例は 下記で、標準（英語版）代表元が規定できる場合だ
・しかし、一般には 一意的な同値類の代表は不可能です
・その不可能の典型が、>>427 のヴィタリ集合 R/Q の代表です
・なぜ ヴィタリ集合 R/Q の代表を一意化するのが不可能か？
・いまの人類の数学レベルでは、無理数 とくに超越数のことが殆ど分っていないから
・なので 選択公理は、分ってないけど 同値類の代表を選択してくれる 便利な数学の道具！ そういうことです

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
同値類たちの集合，を S の 〜 による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/〜 と表記する．
記法と定義
元 a の同値類は [a] と書き，a と 〜 によって関係づけられる元全体の集合
[a]={x∈X∣a〜x}
として定義される．同値関係 R を明示して [a]R とも書かれる．これは a の R-同値類といわれる．
各同値類の元を（しばしば暗黙に）選ぶと，切断（英語版）と呼ばれる単射が定義される．この切断を s で表せば，各同値類 c に対して [s(c)] = c である．元 s(c) は c の代表元 (representative) と呼ばれる．切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる．
ある切断が他の切断よりも「自然」であることがある．この場合，代表元を標準（英語版）代表元と呼ぶ．

＜標準（英語版）＞
en.wikipedia.org/wiki/Canonical_form
Canonical form

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/444

480: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 12:35:37.73 ID:dngn2gaF

>>472
(引用開始)
>選択公理は、そういう具体的なことは不問で 代表を選んでくれるところが便利なのだよ
選択公理は代表を選ばない。そう言ってるでしょ？　字が読めない？　小学校からやり直し
そうではなく、選択公理は代表選択関数の存在を保証する。
存在を保証するだけだから、複数存在するかもしれない。それは選択したことにならないって分からない？
あたまわっるー
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
箱入り無数目のトリックに繋がるので、掘り下げますｗ ；ｐ）

・選択公理は、洗濯もｗ・・、あれ？ｗｗ 選択もします！ｗｗ
・『それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]』
　です
・同値な言い換えが、複数存在すると言われます
　”ツォルンの補題”は有名で、必修です！ｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。

選択公理と等価な命題
以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。

整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
テューキーの補題
有限性（英語版）を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
直積定理
無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
右逆写像の存在
全射は右逆写像を有する。
ケーニッヒ（Julius König）の定理
濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。
チコノフの定理
コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。
クルルの定理
単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/480

491: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 17:38:18.95 ID:dngn2gaF

>>482
>>それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである
>自然言語で間に合わせようとするから間違える。定式化してごらん。

・下記”Well-ordering theorem”で 単語”choice”は、重要キーワードですよ
　Well-ordering theoremから axiom of choiceが導かれるが
　その証明のキーは ”An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of R;”とありますね
・なお、下記の英 Axiom of choice で
　”A proof requiring the axiom of choice may establish the existence of an object without explicitly defining the object in the language of set theory.”
　”Similarly, although a subset of the real numbers that is not Lebesgue measurable can be proved to exist using the axiom of choice, it is consistent that no such set is definable.[8]”
　非可測集合：”it is consistent that no such set is definable.[8]”かｗ ；ｐ）
・”Because there is no canonical well-ordering of all sets, a construction that relies on a well-ordering may not produce a canonical result, even if a canonical result is desired (as is often the case in category theory).”
　これも要注目です。”may not produce a canonical result”ｗ ；ｐ）

要するに、 ”An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of R;”
”a subset of the real numbers that is not Lebesgue measurable can be proved to exist using the axiom of choice, it is consistent that no such set is definable.[8]”
””Because there is no canonical well-ordering of all sets, a construction that relies on a well-ordering may not produce a canonical result”
ｗ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Ernst Zermelo introduced the axiom of choice as an "unobjectionable logical principle" to prove the well-ordering theorem.[3]
Proof of axiom of choice
The axiom of choice can be proven from the well-ordering theorem as follows.
To make a choice function for a collection of non-empty sets,
E, take the union of the sets in E and call it X.
There exists a well-ordering of X; let R be such an ordering.
The function that to each set S of E associates the smallest element of S, as ordered by (the restriction to S
of) R, is a choice function for the collection E.

An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of R; applying the well-ordering theorem to each member S of E separately would not work, since the theorem only asserts the existence of a well-ordering, and choosing for each S a well-ordering would require just as many choices as simply choosing an element from each S.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/491

492: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 17:38:38.41 ID:dngn2gaF

つづき

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Criticism and acceptance
A proof requiring the axiom of choice may establish the existence of an object without explicitly defining the object in the language of set theory. For example, while the axiom of choice implies that there is a well-ordering of the real numbers, there are models of set theory with the axiom of choice in which no individual well-ordering of the reals is definable. Similarly, although a subset of the real numbers that is not Lebesgue measurable can be proved to exist using the axiom of choice, it is consistent that no such set is definable.[8]

The axiom of choice proves the existence of these intangibles (objects that are proved to exist, but which cannot be explicitly constructed), which may conflict with some philosophical principles.[9]
Because there is no canonical well-ordering of all sets, a construction that relies on a well-ordering may not produce a canonical result, even if a canonical result is desired (as is often the case in category theory). This has been used as an argument against the use of the axiom of choice.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/492

498: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 20:20:45.86 ID:dngn2gaF

箱入り無数目のトリックはｗ
実際には、100列 最小限 100個の同値類と100個の代表があれば足りる ｗ ；ｐ）
有限の選択定理で足りるでしょ
下記 決定性公理(AD)でも、選択公理 (AC) の弱い形が成り立つらしい

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理
決定性公理（AD と略される）とは、1962年にミシェルスキー（英語版）、ユゴー・スタインハウス（英語版）によって提案された集合論の公理である。もとの決定性公理はゲーム理論に言及し、可算無限の長さをもったある特定の二人位相的な完全情報ゲーム（英語版）について（後述）、どちらかのプレイヤーは必ず必勝法を持つことを主張する
これは選択公理 (AC) の弱い形のみを許容し、全ての実数と全ての順序数を含むものである

www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_pdf/-char/ja
数学(1977)1号
決定性公理に関する最近までの諸結果について一 無限ゲームの理論 一法政大学 田中尚夫

www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/pdf/teach/Martin-conjecture.pdf
集中講義「マーティン予想」木原貴行 名古屋大学情報学部・情報学研究科 2018年12月29日
本講義ノートは，2018年度秋期開講の東北大学大学院理学研究科数学専攻における「力学系理論特選」，「応用数理特論A」及び「応用数理特殊講義GII」の集中講義「マーティン予想」の内容をまとめたものである
1実数の深淵への入門
1.1数体系の拡張
われわれ人類は，数概念を次々に拡張してきた．最も基本的な数概念の拡張は以下であろう
　N⊂Z⊂Q⊂・・・⊂R⊂C
この中で最大のギャップはQとRにある．このギャップは途方もなく大きい．そこで，もう少し，このギャップを丁寧に埋めていきたい．

www.ms.u-tokyo.ac.jp/~toshi/jjm/JJMJ/JJM_JHP/contents/takagi_jp/25th/TL-Woodin_jp.html
新型コロナウィルス感染症の感染拡大にともない、6月21日の開催を中止し、延期いたします
第25回高木レクチャー招待講演
2020年6月21日
京都大学数理解析研究所大講義室420号室
講義1: AD+
双対性プログラム
講義2: 究極L予想
W. Hugh Woodin
(Harvard University)
Abstract
決定性公理の文脈での記述集合論の研究は50年以上前に始まった。この研究の文脈は現在では、決定性公理ADの改良版である公理AD+
であると理解される。この研究の対象は、ボレル集合族を拡張した実数の集合のクラスである
このことは集合論のおそらく中心的な双対性プログラムに導く。それは公理AD+
が成り立つような実数の集合Aと、ゲーデルによって構成された集合の宇宙の内部モデルであるLの一般化の関係である
このことは次にゲーデルの公理V=L
の究極のバージョンの同定に導く。この鍵となる予想は究極L予想であり、これはもし正しければすべての無限に関する公理たちと両立する一つの公理を導き、またZFC公理系に追加されればカントールの連続体仮説のような、コーエンの強制法によって決定不能であることが示されたすべての問題を、無限に関する公理たちの仮定の下で解決する
究極L予想は数論的なステートメントであり、数学的真理というものを合理的な範囲でどのようにとらえても、真か偽かのどちらかであるはずである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/498

510: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 23:33:20.04 ID:dngn2gaF

>>508
これは御大か
夜の巡回ご苦労さまです

便所板でプロ数学者の巡回はありがたいです （＾＾
変な虫がわいてくるのが、ぐっと減りました
弥勒菩薩さまの攻撃もすごく強力で、ありがたいです （＾＾；

さて、>>502 " D >= dk が実現できるような
おおきな数 D は、存在しない"を、補足します

1）まず >>317より
『有限長のj個の箱の数列 を考える
　各箱にはサイコロの出目 1〜6を入れる
　同値類は、最後の箱で決まり
　6種ある。最後の箱が、1か2か・・6か
　で、ある一つの同値類の元の場合の数は、6^j-1 通り
　全体では、6^j 通り。つまり、決定番号d ＜ j は 確率(6^j-1)/6^j=1/6
　よって、d = jは、確率1-1/6=5/6
　（ここでご注目は、決定番号の存在確率は 最後の d = j が圧倒的に大ってこと）』
2）いま サイコロの出目でなく 実数で考える
　区間[0,1]の実数をランダムに箱に入れる
　同値類は、最後の箱で決まり
　連続無限種ある。最後の箱で、r,r'∈[0,1]で
　r≠r'ならば別の同値類で、r＝r'ならば同じ同値類
　さて、最後より一つ前 j-1番目の箱を考えると
　r＝r'となる確率は0 （∵ 区間[0,1]の実数で1点適中はルベーグ測度0で確率も0です）
　つまり、決定番号の存在確率は  P(d = j)＝1 ,そして d = j 以外の確率0です
3）この状態で 列長さを無限大にした極限を考えると
　j →∞ですから しっぽ同値を決める最後の箱は無限の彼方へ飛び去る
　決定番号d が有限の場合の確率は 0 になる（>>4-5のinfinite fair lottery 同様です）
　なお、確率 0 は、事象の非存在を意味しない。存在するが 確率 0 です（コルモゴロフ 0-1法則類似）

よって、100列で 99列はコケオドシの飾りで
D >= dk が実現できるように見せる ダマシの手品の仕掛けだが
数学的には、D >= dk が実現できる D は、非存在なのですｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/510

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