スレタイ箱入り無数目を語る部屋27(あほ二人の”アナグマの姿焼き”ｗ)

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575: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/25(月) 07:34:40.75 ID:PVFg9nt/

>>567-574
ふっふ、ほっほ

>「箱入り無数目は成功しない　なぜなら選択公理は偽だからだ」というのは無し

ありだよ。その理由は、>>4-5の ”infinite fair lottery”現象で
”（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.”だ

もっと言えば、>>8 「非正則分布は確率分布ではない！？」 ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
の状態
つまり、全事象Ωが無限大に発散し、確率公理P(Ω)=1が満たせない、根源事象の確率0
これらは、ZFC内だよ。つまり、選択公理があっても
『全事象Ωが無限大に発散し、確率公理P(Ω)=1が満たせない、根源事象の確率0』の状態はありｗ ；ｐ）

>> Solovay model（ZFCで選択公理を弱い従属選択公理DCに換えたモデル：非可測集合が存在しない）
>　つまり、Solovay modelではVitali setは集合ではない

そこ面白いから解説しておくよ ；ｐ）

>>562 より
en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
Statement
ZF stands for Zermelo–Fraenkel set theory, and DC for the axiom of dependent choice.
Solovay's theorem is as follows. Assuming the existence of an inaccessible cardinal, there is an inner model of ZF + DC of a suitable forcing extension V[G] such that every set of reals is Lebesgue measurable, has the perfect set property, and has the Baire property.
Complements
途中略す
で
(google訳)
Shelah と Woodin (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、実数によって生成される構成可能な集合であるL ( R ) 内のすべての実数集合はルベーグ測定可能であり、ベール特性を持つことを示しました。これには、すべての「合理的に定義可能な」実数集合が含まれます。
(引用終り)

要するに、Solovay model：ZFCで選択公理を弱い従属選択公理DCに換えたモデル
この中には、非可測なVitali set 存在しない（ or 構成できない )ってこと

もっと比喩的に言えば、非可測なVitali set は、Solovay modelの外の世界にはある ってことだ
これが、2024年のいま言えることよｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/575

623: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/25(月) 20:49:16.88 ID:PVFg9nt/

>>621-622
ふっふ、ほっほ

>自然数をひとつ選択してください

自然数の集合Nからの選択は、選択公理でいえば 集合族がただ1つ つまりは下記”Restriction to finite sets”の特殊例にすぎない
だから、一つ1でも2でもご随意にだが
さて、箱入り無数目との関連でいえば、自然数の集合Nは無限集合なので”ランダム”に一つ選ぶが定義できない
つまり、”infinite fair lottery”>>4-5 と同じ話で、全事象Ωが発散しているのでP(Ω)=1 が不成立で
”ランダム”に一つ選ぶが定義できない（大数の法則も不成立）

>神戸の落ちこぼれエッタ君は、実数が整列可能だと示すのに
>「実数の整列の固定例を示してくださいね」

エッタという部落差別用語を使わないように
警告しました
その上で、下記の 整列集合 例と反例 実数からなる集合
”正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]”
を百回音読しましょう！ｗ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Restriction to finite sets
(google訳)
選択公理の通常の記述では、空でない集合の集合が有限か無限かは指定されず、したがって、空でない集合の有限集合はすべて選択関数を持つことになります。しかし、その特定のケースは、選択公理 (ZF) のないツェルメロ–フランケル集合論の定理です。これは有限帰納法の原理によって簡単に証明できます。[ 7 ] 1つの集合の集合というさらに単純なケースでは、選択関数は単に要素に対応するだけなので、この選択公理の例は、空でない集合はすべて要素を持つと言います。これは自明に成り立ちます。選択公理は、有限集合に対してすでに明らかなこの特性を、任意の集合に一般化することを主張するものと見ることができます。

Usage
(google訳)
19 世紀後半まで、選択公理は正式には述べられていなかったものの、暗黙的に使われることが多かった。たとえば、集合X には空でない集合だけが含まれると確定した後、数学者は関数F を定義するために「 X内のすべてのsに対してF ( s ) をsの要素の 1 つとする」と言ったかもしれない。一般に、選択公理なしにF が存在することを証明することは不可能だが、これはツェルメロまで気づかれなかったようだ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/623

624: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/25(月) 20:49:38.08 ID:PVFg9nt/

つづき

Examples
(google訳)
コレクション内の個々の空でない集合の性質により、特定の無限コレクションに対しても選択公理を回避できる場合があります。たとえば、コレクションXの各メンバーが自然数の空でない部分集合であるとします。このような部分集合にはそれぞれ最小の要素があるため、選択関数を指定するには、各集合をその集合の最小の要素にマッピングすると言うだけで済みます。これにより、各集合から要素を明確に選択できるため、集合論の公理に選択公理を追加する必要がなくなります。

困難が生じるのは、各集合から自然に要素を選択できない場合です。明示的に選択できない場合、選択が正当な集合 (集合論の他の ZF 公理で定義されているように) を形成することをどうやって知るのでしょうか。たとえば、X が実数のすべての空でない部分集合の集合であるとします。まず、 X が有限であるかのように進めてみるかもしれません。各集合から要素を選択しようとすると、X は無限であるため、選択手順は決して終了せず、結果として、X全体に対する選択関数を生成することはできません。次に、各集合から最小の要素を指定してみるかもしれません。しかし、実数の部分集合の中には最小の要素がないものもあります。たとえば、開区間(0,1) には最小の要素がありません。つまり、 xが (0,1) 内にある場合、 x /2 も内にあり、x /2 は常にxよりも厳密に小さくなります。したがって、この試みも失敗します

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
例と反例
整数の全体 Z
次のような二項関係 R を考えれば、Z を整列集合にすることができる。
ふたつの整数 x, y に対して、xRy となるための必要十分条件は
略す
この関係 R は要するに
0, 1, 2, 3, 4, …, −1, −2, −3, …
となる順序として表すことができる。この整列順序 R に関する整列集合 Z の順序型は順序数 ω + ω に順序同型である。

実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。
参考文献
1^ S. Feferman: "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets", Fundamenta Mathematicae, 56 (1964) 325-345
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/624

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