純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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655: １３２人目の素数さん [sage] 2025/03/25(火) 08:22:38.01 ID:z1RqH4j0

>>652
「正方行列なら正則行列（＝逆行列がある）」
「完備距離空間（コーシー列が収束する）ならコンパクト（＝任意の無限列は収束部分列を持つ）」
と（誤って）言い切ってしまえるID:AEEmcAjXが、「数理科学」2022年6月号特集の記事を
（誤りなく）読めたとは思えない

特に以下の箇所が理解できたとは思えない

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（Haussdorf1914の議論では）有限と無限の概念は，
集合論の外に “既にそこにあるもの” として与えられていることになるが，
一方，集合論の内部では，集合の概念を用いて無限の定義をすることができる．
現代の集合論では，無限集合の存在を保証する公理 (無限公理) として，
　集合 U で， ∅ ∈ U で， すべての a ∈ U に対し，a ∪ {a} ∈ U となるものが存在する
という主張を採用する．
ここで存在の保証された集合 U を一つとり，集合の族 F を，
F := {W ⊆ U : ∅ ∈ W, すべての a ∈ W に対し， a ∪ {a} ∈ W }
と定義して (これは (真のクラスではなく) 集合である)，
ω := ∩ F (1)
とする．
この集合は，ここでの構成法から，
ω = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅{∅}}}, ...}  (2)
となっている，と考えられる．
現代の集合論では，0 := ∅, 1 := {∅}, etc. として，この集合 ω を自然数の全体の集合と看倣すのだが，
ハウスドルフの集合論では，これとは別に，自然数の集合
N = {0, 1, 2, ...} (3)
が，“既にそこにあるもの”，として存在しているわけである．

しかし，ここで，(2) での “...” と，(3) での“...” が同じ種類のものである，
という保証はどこから出てくるのだろうか?
これは，ハウスドルフの教科書でのようなナレーションで集合論を習う人が，
当然突き当たる素朴な疑問だろう．
この学習者が初心者なら，ここで何らかの乖離が生じているのか，
そうではなくて，そうではないことが，何らかの方法で証明できるのかは，
直ちには分らないはずである．
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/655

663: １３２人目の素数さん [] 2025/03/25(火) 18:34:52.82 ID:AuI6WweI

>>656-657
ID:AEEmcAjX です
　>>652の渕野 ”特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的)近未来の視点からの考察”
は、全く読んでなかったのだが

それ 面白かった
下記の ”間違いと真理:
解析学と集合論の場合，数学セミナー，Vol.57, No.9, 36–42, (2018).
記事の拡張版”も面白い

＜上記 渕野 ”特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—より追加転記＞
P3 右下
言葉通りにとると“論理”が破綻している「数学」
の有名な例の一つには，εδ-論法を使わない微分積分
もある∗6）．日本では大多数の高校生が，大学受験と
いう悪習の下に，この破綻した「数学」に準じるもの
を強制的に習わされるので，入学試験を経由して大学
に入る日本人の大多数は，数学を言葉通りにとらない
訓練の成果で，権威から押し付けられたものは，何で
も受け入れられるようになっているのかもしれない．
注）
*6）「破綻」の仕方には，18世紀初頭のライプニッツ流の「無限
小」を用いるものと，もう少し後の時代の，数列や連続変量の極
限を「どんどん近づく」として，ある種の“運動”
として理解するものの二種類がある．これらの「破綻」と，それらの現代的な
修復の仕方については，筆者による[渕野2018 7)]も参照されたい
7)渕野昌:
間違いと真理:
解析学と集合論の場合，数学セミナー，Vol.57, No.9, 36–42, (2018).
記事の拡張版:
https://fuchino.ddo.jp/articles/susemi2018-x.pdf
(引用終り)

<上記渕野 解析学と集合論の場合，数学セミナー，Vol.57, No.9, 36–42, (2018)>
P10より
以上の用意をすると，ε-δ-論法では，きちんと書くのがそれほど簡単でない微分に関する証明の多くが，非常に簡単に24)得られるようになります．
脚注
24) 少なくとも私は以下の定理のε-δ-論法での証明は，講義前に証明を一度書き出してみておかないと講義中につっかえてしまう可能性があります．これに対し，以下の証明なら，準備なしで再現できる自信があります(実際これを書くにあたってつっかえずに，じかにLATEXで直接版組みできています．)
P11
上の定理5，定理6の脚注では，私自身「ε-δ-論法での証明は，講義前に証明を一度書き出してみておかないと講義中につっかえてしまう可能性」がある，と書きましたが，次の定理では，ε-δ-論法での証明は，うまく自分で再現できず参考書を見なくてはならなくなる危険すらあります．
(引用終り)

これで思い出すのが
高2時代に 神戸大数学科出身の数学教師が
”εδ-論法を使わない微分積分”関連で、毎時間”高校ではいい加減で 本当はεδ-論法がぁ・・・”というので
高校図書館で、”εδ-論法”の本を読んだ。そのときは「こんなものが・・」と思っただけ
大学学部の後で、上記のノンスタ（超準）を知って、『な〜んだ』と思ったよ
ノンスタ（超準）の方がスッキリしている面があるんだね （＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/663

688: １３２人目の素数さん [] 2025/03/27(木) 09:58:12.55 ID:Bmz7WW0q

>>664 戻る
(引用開始)
1）ここ、渕野先生ちょっとヘン
　つまり、“論理”が破綻している「数学」＝ ”εδ-論法を使わない微分積分”∗6） と書いておきながら
　∗6）で、”これらの「破綻」と，それらの現代的な修復の仕方については，筆者による[渕野2018 7)]も参照されたい”
　さらに、7)渕野昌：”以上の用意をすると，ε-δ-論法では，きちんと書くのがそれほど簡単でない微分に関する証明の多くが，非常に簡単に24)得られるようになります”
　と来ると、完全に肩透かし じゃね？
2）つまり、εδ-論法をつかう正統 微分積分は「こんなに素晴らしいのだ！」と書くのかと思いきや
　”ε-δ-論法では，きちんと書くのがそれほど簡単でない微分に関する証明の多くが，非常に簡単に24)得られるようになります”
　というならば、教えるべきは ε-δ-論法でなく
　”きちんと書くのがそれほど簡単でない微分に関する証明の多くが，非常に簡単に24)得られるようになります”
　の方で、 それは つまり ノンスタ（超準）を教えるべし！
　が結論にならないと、筋が通らないよね （＾＾
(引用終り)

１）渕野先生 >>652の渕野 ”特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的)近未来の視点からの考察”
εδ-論法を用いない微分積分の問題は，こ
の文脈で議論するべきことの一つだろう．この問題に
関連する事項については，第2
節の終りと第4
節で
再び取り上げることになる．
[Hausdorﬀ 1914 15) ]と[Hausdorﬀ 1927 16) ]の大きな特徴
は，位相空間論，測度論，記述集合論といった，当時
の最新の数学研究の各分野を，集合論の部分，ない
しは，集合論の応用として含んでいることであろう．
「集合論は，すべての数学を内包する，数学の基礎で
ある」，という立場の有効性は，ブルバキにより広く
知しめられるところとなったが，そのような捉え方の
ルーツの一つは，ハウスドルフのこれらの教科書にあ
る，と言って間違いなさそうである．
[Hausdorﬀ 1927 16) ]の後半で展開される，これらの理論は，当時の数学研究に，それまでになかった新しい視点と，更なる発展の可能性を示唆するものだった．

２）また 同
4.数学の教科書としての，[Hausdorﬀ 191415) ]と，[Hausdorﬀ 1927 16) ]第2節で述べたことからも，読み取れると思うが，
礎に対する意味については，全く触れられていない．
[松坂1968 26) ]は，[Hausdorﬀ 192716) ]の前半と，[Hausdorﬀ 1914 15) ]の位相空間の章を“モダン”
に書き直したような感じの本で，この本が書かれた時点で最新の結果
だったコーエンの連続体仮説の独立性についての言及もあるが，この本の295
ページには，「これらの集合論の公理系に矛盾がないことを証明するのは，数学基
礎論の問題で，今日まだ確定的に解決されていない」
という驚くべき記述もある(もちろん，これは，不完
全性定理と照しあわせてみれば，ナンセンス以外の何
ものでもあり得ない．
（注：渕野先生は、[松坂1968 26) ]には批判的です（スレ主））

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/688

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