純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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352: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/12/22(日) 13:21:52.56 ID:pGQluwbN

メモ
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%B3
ゲルハルト・カール・エーリヒ・ゲンツェン（ドイツ語: Gerhard Karl Erich Gentzen, 1909年11月24日 - 1945年8月4日）はドイツの論理学者・数学者。
ヘルマン・ワイルとパウル・ベルナイスの弟子。ゲッティンゲン大学でワイルに学び、1934年に学位を取得。プラハ大学で講師となる。1945年、第二次世界大戦でソ連軍に捕らえられ、プラハの捕虜収容所で栄養失調のため死去した。ヘルマン・ワイルとパウル・ベルナイスの弟子。ゲッティンゲン大学でワイルに学び、1934年に学位を取得。プラハ大学で講師となる。1945年、第二次世界大戦でソ連軍に捕らえられ、プラハの捕虜収容所で栄養失調のため死去した。

en.wikipedia.org/wiki/Gentzen%27s_consistency_proof
Gentzen's consistency proof
ゲンツェンの定理
ゲンツェンの定理は、第 1 階の算術、つまり第 1 階のペアノ公理によって公理化された、加算と乗算を含む自然数の理論に関するものです。これは「第 1 階」の理論です。量指定子は自然数には適用されますが、自然数の集合や関数には適用されません。この理論は、累乗、階乗、フィボナッチ数列などの再帰的に定義された整数関数を記述できるほど強力です。

ゲンツェンは、一階ペアノ公理の一貫性が、順序数ε 0までの量指定子のない超限帰納法という追加原理を伴う原始再帰算術の基本理論上で証明可能であることを示した。原始再帰算術は、かなり議論の余地のない、かなり単純化された形式の算術である。

ヒルベルトのプログラムとゲーデルの定理との関係
ゲンツェンの証明は、ゲーデルの第二不完全性定理の一般的に見落とされている一側面を浮き彫りにしている。理論の無矛盾性はより強い理論でのみ証明できると主張されることがある。

ヘルマン・ワイルは、 1931年のゲーデルの不完全性の結果がヒルベルトの数学の無矛盾性を証明する計画に壊滅的な影響を与えたことを受けて、1946年にゲンツェンの無矛盾性の結果の重要性について次のようにコメントした。[ 4 ]
ヒルベルトがそれをうまく実行できたなら、すべての数学者が最終的にヒルベルトのアプローチを受け入れたであろう。最初の一歩は刺激的で有望だった。しかしその後、ゲーデルがそれに大打撃を与え (1931 年)、数学はそこからまだ立ち直れていない。ゲーデルは、ヒルベルトの形式主義における記号、式、式の列をある方法で列挙し、一貫性の主張を算術命題に変換した。彼は、この命題が形式主義の範囲内で証明も反証もできないことを示すことができた。これは、2 つのことを意味するだけである。一貫性の証明を与える推論には、システム内に形式的に対応するものがない何らかの議論が含まれているに違いない、つまり、数学的帰納法の手順を完全に形式化することに成功していないか、または、厳密に「有限」な一貫性の証明への期待を完全にあきらめなければならない。 G. ゲンツェンが最終的に算数の一貫性を証明することに成功したとき、彼はカントールの「第 2 の順序数クラス」に浸透するタイプの推論を明白であると主張することで、実際にそれらの限界を超えました。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/352

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