純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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331: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/29(金) 10:09:41.97 ID:v+dxUrg+

>>330
>いつ見てもグロタンディーク構成されてできたK群は複式簿記に見える。

ご苦労様です
”は自然数から整数を構成する標準的な方法の一般化に相当する”
”半群から、それを”含む”ような群を構成できます”
ね。それを、「複式簿記に見える」と

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E7%BE%A4
グロタンディーク群とは、可換なモノイドから最も普遍的な方法で構成されるアーベル群である。これは自然数から整数を構成する標準的な方法の一般化に相当する。この群は、圏論でのより一般的な構成から命名されている。それは、アレクサンドル・グロタンディークが1950年代中期にK-理論の発展をもたらした基本的な仕事の中で導入し、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の証明を導いた。この記事においてどちらの構成も扱う

可換モノイドのグロタンディーク群
動機付け
可換モノイド M が与えられたとき、加法逆元を導入することによって M から生じる「最も一般的な」アーベル群 K を構成したい。そのようなアーベル群 K は常に存在し、M のグロタンディーク群と呼ばれる。それは以下の普遍性によって特徴づけられ、 M から具体的に構成することもできる
普遍性
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明示的な構成
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性質
圏論のことばでは、任意の普遍的構成から関手が生じる。したがって可換モノイドの圏からアーベル群の圏への、可換モノイド M をそのグロタンディーク群 K に送る函手を得る。この函手は、アーベル群の圏から可換モノイドの圏への忘却函手の左随伴である
可換モノイド M に対し、写像 i : M → K が単射であることと M が消約律を満たすことは同値であり、全単射であることと M が既に群であることは同値である

例： 整数と、多様体や環のグロタンディーク群
グロタンディーク群の最も単純な構成例は、自然数から整数の構成である。まず、自然数と通常の加法は、確かに可換モノイド (N, +) を形成する

グロタンディーク群と拡大
グロタンディーク群と名のついた別の構成は、次のような構成である。R をある体 k 上の有限次元代数、あるいはより一般的にアルティン環とする。グロタンディーク群 G0(R) を有限生成 R-加群の同型類の集合
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完全圏のグロタンディーク群
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三角圏のグロタンディーク群
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さらなる例
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pantodon.jp/index.rb?body=Grothendieck_group
Algebraic Topology: A guide to literature 玉木大 信州大
Grothendieck group とK理論の基本

位相空間のK理論の構成にはそれほど高度な概念は必要ない。まずは Grothendieck group の構成, つまり monoid の group completion さえ知っていればよい。とはいうものの, group completion にもその適用するものによって様々な version がある。いづれの場合も, できた群を Grothendieck group という
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suzume-world.com/2022/07/21/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E7%BE%A4/
数学好きのすずめ
グロタンディーク群 20220721
半群から、それを”含む”ような群を構成できます
ここでは可換の場合を考えます
グロタンディーク群

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/331

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