純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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326: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/27(水) 14:08:24.50 ID:vaeoxsb8

これ面白い
www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/
アインシュタイン牧場
このページは素粒子の究極理論を目指す人のための究極実用ページです。
牧場主(浜中真志）のページはこちら

www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/hamanaka.html
浜中 真志（はまなか まさし）
所属： 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
講義録
・向井 茂 先生 ``Fourier-Mukai変換,'' ※1998年12月の研究会

www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
Fourier-Mukai変換
向井茂述 浜中真志記1998 年12月9日
Fourier-Mukai 変換 (以下FM変換と書く)というのは、Fourier変換の拡張です。
Fourier変換というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM変換です。
Fourier 変換の拡張という話はいろいろあります。一番簡単なものですと、例えば次のようなものがあります。
Gを有限アーベル群とします。このとき、Gの双対というのはG∗=Hom(G,C×)で与えられます：
略す

P3
• 層(sheaf )
大雑把にいって層X上の代数的(正則)ベクトル束(10)です(Xが代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すればいいかと言いますと、Xの閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X−Yでは零になるように)拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層というのはXの１点x∈Xに有限次元ベクトル空間を生やしたものです。関数のFourier変換を層のFourier変換(FM変換)に拡張するためにどうすればいいかですが、結論から先に言いますと次の置き換えをすることになります：
略す

en.wikipedia.org/wiki/Fourier%E2%80%93Mukai_transform
Fourier–Mukai transform

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/326

328: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/27(水) 17:50:05.34 ID:vaeoxsb8

>>326
>大雑把にいって層X上の代数的(正則)ベクトル束(10)です(Xが代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E6%9D%9F
ベクトル束
切断および局所自由層
ベクトル束 π: E → X と X の開集合 U が与えられたとき、π の U 上の切断、断面 (section) を考えることができる。切断とは、π ∘ s = idU を満たす連続写像 s: U → E のことであり、これは本質的には U の各点で、それに付随するベクトル空間のベクトルを連続的に対応させることを意味する。例えば、可微分多様体の接束の切断とは、その多様体上のベクトル場に他ならない。

F(U) を、U 上の切断全体の集合とする。F(U) は常に、少なくとも零切断 (zero section)と呼ばれる一つの要素を含む。これは、任意の要素 x ∈ U をベクトル空間 π−1({x}) の零ベクトルに写像する切断 s である。 各点における切断の加法とスカラー倍により、F(U) はそれ自体が実ベクトル空間になる。 これらベクトル空間の（開集合 U に関する）系は、X 上のベクトル空間の層をなす。

s が F(U) に属する切断で α: U → R が連続写像のとき、点ごとのスカラー乗法で定義される αs は再び F(U) に属する。したがって、F(U) を U 上で定義された実数値連続関数環の上の加群と見なすことができる。さらに、X 上の実数値連続関数全体の成す構造層を OX と書くと、F は OX 加群全体の層になる。

どんな OX 加群の層でも、ベクトル束からこの方法で得られるというわけではなく、局所自由であるものに限られる。実際にこの構成法では、局所的には射影 U × Rk → U の切断を求めることになるが、それはちょうど連続写像 U → Rk であって、連続関数 U → R の k 組として表されるからである。

さらに言えば、X 上の実ベクトル束の圏は、局所自由かつ有限生成な OX 加群の層の圏に圏同値である。したがって、X 上の実ベクトル束の圏は OX 加群の層の圏に含まれていると考えることができる。後者はアーベル圏であり、それによってベクトル束の射の核や余核をその中でならば計算することができる。

n-階ベクトル束が自明であるための必要十分条件は、それが n 個の線型独立な大域切断を持つことであることに注意。

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_bundle
Vector bundle
Sections and locally free sheaves
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/328

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