純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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324: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/27(水) 11:36:06.84 ID:vaeoxsb8

これ面白い
http://gomiken.in.coocan.jp/japanese/math/index.htm
五味健作
卒業した数学
前置き： Outgrowのすすめ

私の場合，中年にさしかかって伝統的な数学の研究に飽き足らなくなった丁度その頃，学内に分散していた三つの数学系学科が一つになって数理科学研究科を発足させたことで，数理科学を真剣に目指すよう背中を押され，在籍のまま数理心理学（数理科学としての心理学）に，特に Mathematical Noology に転じることができ，その転じが Eusophy（仁智学）の提起につながった． そういう幸運が無ければ，outgrowできない儘「その道一筋」で終わっていたかも知れない．

数学者社会に対して私はambivalentである（この英語の形容詞にも適切な和訳が無い）． その中で鍛えられたことは幸いだった． それが無ければ現在の私の研究も無かっただろう． 数学的鍛えの足りない人が数学的本質をもつ対象について行なう論考を見る度にそう思う． そういう人は，対象の数学的本質を見抜けないか，見抜けても上手く扱えないのである． 例えば，哲学者は総じて本来高かるべき問題意識を無数学か似非数学で貶めている（このことの実例を仁智学のページの§2.4（哲学の千年不毛，数理科学の実り）で説明している）． 他方で，数学者は大方が折角の高い問題解決能力を数や図形や関数志向の低い問題意識に空費している． 数学の伝統の中で高いとされる問題意識が学問全体の中で見てもそうなのではない． 学問に限らず人の営みの評価基準として仁智学のそれに優るものは無い（このことを仁智学のページの§H（地球温上昇に立ち向かう市民活動）で敷衍している）． 数学の伝統から，と言うよりは因習から脱すれば数学を仁智学の下での科学にとって有効な道具としても表現力豊かで厳密な言語としても使うことができる筈なのに，残念なことである．

研究論文（降順）
略

gomiken.in.coocan.jp/japanese/math/cfsg.htm
別冊数理科学「群とその応用（サイエンス社 1991」より
有限単純群の分類 五味健作
　「数理科学」の1970年の12月号「有限群特集」は，私にとって思い出深い号である． この年に私は大学院に進学し，研究者としての第一歩を踏み出していた． 専門は有限単純群論と決めていたものの，教えを受けるつもりだった近藤武先生は，丁度Princeton高等研究所に行かれた後であり，同じ専門の先生は他にいらっしゃらないので，しかたなく一人で勉強していた． そんな折り突如として数理科学に有限群特集号が出たのである． 情報に飢えていた私は，空腹の時に思い掛けず山盛りの御馳走を出された人のように，その号を貪り読んだ． とくに冒頭の「有限群の最近の発展」という座談会の記事は，傍線を引きながら繰返し繰返し読んだ． そのため，表紙が取れてしまったが，補修をして２０年たった今でも手もとにある．

そこで私は，１９７０年前後から１９８０年の単純群分類の完成に至るまでの疾風怒濤のような動きを，Thompson, Gorenstein, Aschbacherという三人の大立者の業績に焦点を当てながら追ってみることにしたい．
以下略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/324

326: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/27(水) 14:08:24.50 ID:vaeoxsb8

これ面白い
www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/
アインシュタイン牧場
このページは素粒子の究極理論を目指す人のための究極実用ページです。
牧場主(浜中真志）のページはこちら

www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/hamanaka.html
浜中 真志（はまなか まさし）
所属： 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
講義録
・向井 茂 先生 ``Fourier-Mukai変換,'' ※1998年12月の研究会

www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/fourier_mukai.pdf
Fourier-Mukai変換
向井茂述 浜中真志記1998 年12月9日
Fourier-Mukai 変換 (以下FM変換と書く)というのは、Fourier変換の拡張です。
Fourier変換というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM変換です。
Fourier 変換の拡張という話はいろいろあります。一番簡単なものですと、例えば次のようなものがあります。
Gを有限アーベル群とします。このとき、Gの双対というのはG∗=Hom(G,C×)で与えられます：
略す

P3
• 層(sheaf )
大雑把にいって層X上の代数的(正則)ベクトル束(10)です(Xが代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すればいいかと言いますと、Xの閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X−Yでは零になるように)拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層というのはXの１点x∈Xに有限次元ベクトル空間を生やしたものです。関数のFourier変換を層のFourier変換(FM変換)に拡張するためにどうすればいいかですが、結論から先に言いますと次の置き換えをすることになります：
略す

en.wikipedia.org/wiki/Fourier%E2%80%93Mukai_transform
Fourier–Mukai transform

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/326

327: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/27(水) 14:34:05.18 ID:vaeoxsb8

メモ：フーリエ変換の一般化

https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/
岩山　隆寛 (Takahiro IWAYAMA) 福岡大学 ・理学部 教授
https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/teach_17.html
担当授業科目(2017年度)
惑星学基礎III
金曜日1時限目（惑星学科2年生）[Y101教室]
配布資料(第7章まで2017年度版に改訂)
ガイダンス資料
第1章 常微分方程式の解法の復習
第2章 Fourier級数
第3章 複素Fourier級数
第4章 Fourier変換とFourier積分
第5章 Fourier級数の幾何学的意味:直交関数展開
第6章 拡散方程式
第7章 波動方程式
https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/kisoIII/2017/chap5.pdf
第5章Fourier 級数（Fourier 変換）の幾何学的意味：直交関数展開
5.3まとめ
このように級数展開がベクトルの展開と対応していることは単なる偶然ではなく関数をベクトルと見做すことはきちんとした数学の概念である
従っていま考えているような有限区間を定義域とする関数の展開だけでなく実数全体を定義域とする関数の展開も同じように考えることができる
実数全体を定義域とする関数をという完全正規直交関数系で展開したものが変換である

*5展開に用いた直交関数の個数が可算無限個か不可算無限個かに応じて展開したときの表現が和で表されたり積分で表される

先に空間内にはさまざまな直交座標が存在しその直交座標でベクトルを表現することができるがどのような座標系を用いようがベクトルuの実体は変わることが無く単に表現の仕方が異なるだけであるどの座標系を用いるかは解く問題が一番簡単になる座標系を選べばよいことを注意した
これと全く同様に関数をどのような直交関数で展開してもの実体は変わりなくただ表現が異なるだけでありどのような直交関数で展開してもよいのであるが解く問題が一番簡単になる直交関数を選び展開するのが最も便利である
ではなぜFourier級数展開やFourier変換がよく用いられるのか
それは我々に最も馴み深い波（sinkx,coskx,exp(ikx)）の集まりという目で問題を理解・解釈できるからである

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/index-j.html
木田 良才（きだ よしかた）東大数理
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes.html
講義ノート
・フーリエ変換と超関数 (2020/2) pdf
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/notes/fourier.pdf
フーリエ変換と超関数 木田良才 2020 年2月28日
このノートは2016, 2017年度の東京大学理学部数学科向けの講義と2017, 2018, 2019年度の東京大学教養学部統合自然科学科向けの講義に基づいている. ともに3年生を主対象にした講義であり, 主題はフーリエ解析と超関数である. 内容の選択に当たっては,フーリエ解析を必須としない学生も興味がもてるよう,幅広い話題に触れつつも深入りすることは避けた. 多くの文献を参考にしたが, 最も参考にしたものを挙げるとすれば次の三冊になる:
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/327

328: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2024/11/27(水) 17:50:05.34 ID:vaeoxsb8

>>326
>大雑把にいって層X上の代数的(正則)ベクトル束(10)です(Xが代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E6%9D%9F
ベクトル束
切断および局所自由層
ベクトル束 π: E → X と X の開集合 U が与えられたとき、π の U 上の切断、断面 (section) を考えることができる。切断とは、π ∘ s = idU を満たす連続写像 s: U → E のことであり、これは本質的には U の各点で、それに付随するベクトル空間のベクトルを連続的に対応させることを意味する。例えば、可微分多様体の接束の切断とは、その多様体上のベクトル場に他ならない。

F(U) を、U 上の切断全体の集合とする。F(U) は常に、少なくとも零切断 (zero section)と呼ばれる一つの要素を含む。これは、任意の要素 x ∈ U をベクトル空間 π−1({x}) の零ベクトルに写像する切断 s である。 各点における切断の加法とスカラー倍により、F(U) はそれ自体が実ベクトル空間になる。 これらベクトル空間の（開集合 U に関する）系は、X 上のベクトル空間の層をなす。

s が F(U) に属する切断で α: U → R が連続写像のとき、点ごとのスカラー乗法で定義される αs は再び F(U) に属する。したがって、F(U) を U 上で定義された実数値連続関数環の上の加群と見なすことができる。さらに、X 上の実数値連続関数全体の成す構造層を OX と書くと、F は OX 加群全体の層になる。

どんな OX 加群の層でも、ベクトル束からこの方法で得られるというわけではなく、局所自由であるものに限られる。実際にこの構成法では、局所的には射影 U × Rk → U の切断を求めることになるが、それはちょうど連続写像 U → Rk であって、連続関数 U → R の k 組として表されるからである。

さらに言えば、X 上の実ベクトル束の圏は、局所自由かつ有限生成な OX 加群の層の圏に圏同値である。したがって、X 上の実ベクトル束の圏は OX 加群の層の圏に含まれていると考えることができる。後者はアーベル圏であり、それによってベクトル束の射の核や余核をその中でならば計算することができる。

n-階ベクトル束が自明であるための必要十分条件は、それが n 個の線型独立な大域切断を持つことであることに注意。

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_bundle
Vector bundle
Sections and locally free sheaves
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/328

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