純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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726: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/03(木) 20:53:14.25 ID:iyw2e0au

これいいね
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/
Yuji Tachikawa
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/misc/qft-math.html
場の量子論と数学の関係について特に詳細に書いたページ
場の量子論と数学についてもうすこし詳しく
僕の研究のかなりの部分は場の量子論(および弦理論)と数学との関係にあります関係には大きくわけて
・場の量子論の数学
・場の量子論による数学
・場の量子論のための数学
のみっつがあります「場の量子論の数学」とは、場の量子論自体を調べるために作った数学のこと、 「場の量子論による数学」とは、場の量子論を使って数学をする、場の量子論がもともと予期されない方法で数学と関係することで、 「場の量子論のための数学」とは、場の量子論の勉強をするのに既存の数学を使うことです これに関してはまずは講演動画「場の量子論の場の量子論による場の量子論のための数学」(講演ファイル)を見てください 以下、三つについてそれぞれ見ていきます

場の理論による数学
これについては、主なものをおおまかに年代順に並べてみたいと思います (若い学生さんによると一ヶ所にまとまっているのを見たことがないというので...) また、僕が研究をはじめた200x年以降のものに関しては自分が間接直接に関与したものに偏っており、他にも色々あると思いますが，すいませんご指摘いただければ追加する予定です

以下の例は物理をやっている人からすると非現実的な場の理論が多いと感じると思いますが、理由があります 通常の現実的な場の理論は非常にリッチなものです (そもそも素粒子の標準模型で我々自身の心まで支配されているわけですから) そこから取り出される予言は小数点つき誤差つきの量ですでも数学でもてはやされる(?)ものはもっと抽象的なものです そういうものを取り出せるためには理論がある程度簡単で、色んなものが誤差なく取り出せる必要があります それは現状では大きくわけて三つに限られます

1.自由場の理論か、二次元の共形場理論のように、完全に解ける理論
2.トポロジカルな場の理論
3.超対称な理論この場合は理論の全体は解けないですが、一部の超対称性で保たれているサブセクターが解けることがあります
このうち 1 と 2 は数学としても厳密に定式化されており、そこから得られた結果も数学的によくわかることが通常です 一方、3 から得られる数学的結果には、 数学として厳密に定式化されていない場の理論のリッチな側面の反映がまだ残っているため、 数学的により不可思議な結果であることが多いです
以下、項目名をクリックもしくはタッチすると内容が表示されます

0. ボゾン・フェルミオン対応とθ関数の無限和=無限積公式
　ヤコビのθ関数は無限和表示と無限積表示がありますこれには二次元の場の量子論による解釈があります略
1. モンスター群と二次元カイラル共形場理論の思い掛けない関係
　19 世紀から知られているモジュラー J 関数は 略
2. マチウ群と二次元カイラル共形場理論の思い掛けない関係
　19 世紀から知られているモジュラー J 関数は 略
　適切な頂点作用素代数があって、そこにマチウ群 M24 が作用していればいいのですが、それから 15 年経ったものの、ちょうどよい頂点作用素代数はみつかっていません困ったことです

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/726

727: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/03(木) 20:54:10.00 ID:iyw2e0au

つづき

3. 結び目不変量とチャーン・サイモンズ理論の関係
　これも同じ頃の話ですが、作用素環の研究者 Jones が 1985 年に結び目の位相不変量を発見しました略す
4. 場の量子論の量子異常と指数定理の関係
　さて、時間を二十年ほど溯ります 量子異常というのは、(発見された当時の観点では)カイラルフェルミオンのラグランジアンに古典的には対称性があるけれども、 量子化するとその対称性が微妙に保たれず、保たれない具合が厳密に決定できるというもので、1970 年初頭にみつかりました 略す
5. 超対称量子力学と指数定理の関係
　超対称性というのはフェルミオンとボゾンをいれかえる対称性で、現実の素粒子物理の観点からも興味が持たれ、深く研究されてきましたが、場の量子論と数学の関係においても重要な役割を果たします略す
6. 楕円種数と二次元超対称場の理論の関係
　フェルミオンの量子異常は数学ではディラック演算子に対応する Â 種数とよばれる量に対応しますが、他の演算子に対応する様々な別の種数があります 数学者はその中でも楕円種数 (elliptic genus) と呼ばれる一連の種数が特別な性質をもつことに気付きました略す
7. 四次元多様体の微分不変量について
　四次元多様体の微分構造について 1983 年に Donaldson が多様体上の SU(2) 接続の反自己双対方程式のモジュライ空間、物理側の言葉ではインスタントンを調べることによってそれまで予期しなかった種々の結果を示しました これも場の量子論の言葉で再解釈できないか、略す
8. カラビヤウ多様体のミラー対称性
　まずは以下の図をみてください略す
9. 二次元重力とリーマン面のモジュライ空間の幾何について
　これはこのリストのなかでも特に僕が慣れていない内容で、略す
10. 四次元 N=4 超対称ゲージ理論の S 双対とラングランズ対応
　Maxwell 方程式において磁場の満たす式と電場の満たす式がほとんど同じことはご存知かと思います Maxwell 理論はゲージ群が U(1) のゲージ理論で、ゲージ群を非可換群にしたのが Yang-Mills 理論ですが、 略す
11. McKay 対応と弦理論のブレーンについて
　単純リー環はディンキン図で分類できるのはよく知られています 特にディンキン図で二本線、三本線をつかわないものを 略す
12. インスタントンモジュライの ADHM 構成と D ブレーンの物理
　四次元多様体上の半自己双対接続=インスタントンのモジュライ空間の幾何をしらべることで四次元の微分幾何がよく分かったというのが Donaldson の進展でした略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/727

728: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/03(木) 20:54:50.57 ID:iyw2e0au

つづき

13. 三次元ミラー対称性とハイパーケーラー多様体の幾何
　上記 ADHM 構成も、Kronheimer-Nakajima 構成も、ハイパーケーラー商という、G 作用のある線形ハイパーケーラー空間 V から非自明なハイパーケーラー多様体 V///G を作り出す構成の例になっています 略す
14. 「互いに交換する三つ組み」のモジュライ空間について
　すこし別の話をしましょう四次元 N=1 超対称ヤンミルズ理論はゲージ群 G を指定すれば定まりますこれは現実の素粒子論の「強い力」を記述するヤンミルズ理論と同様、閉じ込めを起こすと信じられています略す
15. 超共形指数と楕円ガンマ関数の積分等式について
　次に四次元 N=1 超対称 QCDを考えます色の数が Nc、クォークの種類が Nf だとします略す
16. ガイオットの Class S 理論とそれに伴う種々の数学について
　ここまで見てきた例を抽象すると、略す
17. 佐々木多様体と AdS/CFT 対応の関係
　1997 年以降の超弦理論の発展では、AdS/CFT 対応という、d 次元の場の量子論(主に共形場理論(CFT)ですが)が d+1 次元のアンチドジッター(AdS)空間上の重力理論と等価であるという関係が非常に重要です略す
18. D ブレーンの分類と K 理論の関係
　残りの三つはこれまでとは毛色がちがい、理論物理側での分類問題に関するものです まずは超弦理論の D ブレーンの分類について考えます略す
19. 可逆相の分類と一般コホモロジー理論の関係
　2010年ごろから、物性理論で symmetry-protected topological phase (SPT 相) というものに興味が持たれるようになりました略す
20. 位相的モジュラー形式とヘテロ弦の関係
　最後に、topological modular forms (TMF) の話をしましょう 上で1980年代に楕円種数というのが数学で導入され、Witten によって二次元超対称場の理論による解釈が与えられたと言いました略す
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/728

730: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/03(木) 23:39:51.79 ID:iyw2e0au

>>723
>正方行列AとBが交換可能ならば、同時対角化可能である、
>このことの最もエレガントな証明はどうすれば良いの？

スレ主です
それ ”高校数学の美しい”定理らしい。chiebukuro.yahooにもある
”最もエレガント”か。エレガントの定義が問題だろう 幾つか証明があるなら、お気に入りを選べば良いと思う

https://manabitimes.jp/math/1196
高校数学の美しい物語
同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明 2024/08/21

2つの対角化可能な行列
A,B について，
AB=BA⟺ A と B は同時対角化可能
線形代数の重要な定理です。この定理の証明および量子力学における意味を解説します。

目次
同時対角化可能とは
定理のバリエーション
「同時対角化可能なら可換」の証明
「交換可能なら同時対角化可能」の証明
量子力学における意味

同時対角化可能とは
・ある正則行列 P が存在して
P −1 AP が対角行列になるとき，行列
A は対角化可能であると言います。

・ある正則行列
P が存在して
P−1 AP と P−1 BP がともに対角行列になるとき，行列
A と B は同時対角化可能であると言います。

定理のバリエーション
・物理においては，上記の定理で「対称行列」や「エルミート行列」の場合を考えることが多いです。（量子力学で使うのはエルミートのとき）。
・特に対称行列は常に対角化可能（→対称行列の固有値と固有ベクトルの性質の証明）であることに注意しましょう。

「同時対角化可能なら可換」の証明
こちらは簡単です
証明
⇐ の証明
略す

「交換可能なら同時対角化可能」の証明
A,B のサイズを n とします
方針
A を対角化する行列
P をもとに，
A と B を同時対角化する行列
PQ を構成します

A，B が対称行列の場合の証明
対象行列の場合は簡単に証明ができます。
証明
A の固有値 λ に対応する固有ベクトルの一つを
u とおくと，略す

一般的な場合
一般的なケースの証明では，ベクトル空間が固有空間の直和によって分解されることを用います。
準備の定理
略す
この定理の証明は飛ばします
「交換可能なら同時対角化可能」の証明
略す

この定理および証明を知っていれば解ける大学院入試の問題として，同時対角化の練習問題〜院試の問題を通してもどうぞ

量子力学における意味
量子力学では物理量はエルミート行列（演算子）に対応します
また，A と B が同時対角化可能というのは
A に対応する物理量と
B に対応する物理量が同時観測可能（一回の測定で両方分かる）であることを表しています
つまりこの記事で紹介した定理は同時観測可能かどうかを判定するには
AB−BA が 0 かどうかを確認すればよいことを表しています

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14260506624
chiebukuro.yahoo
知恵袋ユーザーさん
2022/4/18 行列A、Bが可換であるとき、同時対角化可能であるという証明はどのように行えばいいでしょうか？

回答
*********さん
2022/4/18
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/730

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