スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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973: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/20(金) 15:29:36.36 ID:4YvyoyGy

>>963より再録
ふっふ、ほっほ 確率空間 三つ組 (S, E, P) 下記
確率測度とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことです
さて、確率空間 三つ組 (S, E, P)を定めるという意味は、確率として扱えない対象があるということ

例えば、”完全加法族 E”から外れる ヴィタリのような非可測な集合は扱えない
別の重要な例で、Sが大きすぎる場合があります。例えば、下記 例 実数からなる区間 [0, 1] とそのボレル集合族 B からなる可測空間 ([0, 1], B)

これは良いが、区間 [0, 1]→ 全R(-∞,+∞) とすることはできない。明らかに 上記例の測度そのままでは、 P(S) →∞ に発散します
（なお、正規分布のように、-∞,+∞ で指数関数的に減衰する対象に対してはできます。つまり、∞を含む区間では”減衰”がキーワードなのです）

同様に、自然数Nのような無限集合でも、∞を含む区間では”減衰”が必要です
例えば、”減衰”なしで、自然数Nや整数Zから、二つの数d1,d2を取って、確率 P(d1≦d2)＝1/2 という議論はできません
同様に、無限次元の線形空間 多項式環F[X]から 二つの多項式f1(x),f2(x)を取って、それらの次数 d1,d2を取って、確率 P(d1≦d2)＝1/2 という議論もできません

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%96%93
確率空間（英: probability space）とは、可測空間 (S, M) に確率測度 μ(S) = 1 を入れた測度空間 (S, M, μ) をいう。根元事象が無数にあるなどの場合は、確率をラプラスの古典的確率で定義することができず、確率を公理的確率として定義することがアンドレイ・コルモゴロフにより提唱されている。確率空間とは、そのために必要な概念である。

概要
根元事象が無数にある場合は、確率をラプラスの古典的確率で定義することができない。
最近では測度論の研究はほとんど確率論の研究と同義になっている。
直観的に確率空間とは、起こりうる事象を全て集めてきて、それらの頻度を表す確率関数がある空間のことである。

定義
確率論において、確率測度とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象と呼ぶ。また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の確率という。つまり、E は確率が定義できることがら全体である。
S の部分集合が必ずしも事象とは限らないことに注意されたい。

例
実数からなる区間 [0, 1] とそのボレル集合族 B からなる可測空間 ([0, 1], B) 上でルベーグ測度 μ を考えれば、μ([0, 1]) の値は区間の長さ |[0, 1]| = 1 − 0 = 1 に等しいので、μ は ([0, 1], B) 上の確率測度であり、三つ組 ([0, 1], B, μ) は確率空間になる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_space
Probability space

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/973

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