ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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924: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/01(水) 14:21:04.73 ID:2b7XvZNh

>>920 補足
>2）赤[]にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている

ここ
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室 東北大
2022年度 解析学入門 (宮城教育大学2年生向き 水曜日5講時)
教科書・参考書
[4] 赤攝也：集合論入門, ちくま学芸文庫, 2014.
初版は培風館から1957年に出版され, 私も学生の頃に読んだ。集合の演算, 濃度, 順序数が主要なテーマであり, 理論展開は厳密かつ明晰であって, しかも記述は極めて丁寧。全くの初学者を本格的な(古典的)集合論に導く名著。 ただし, 記号や言葉の使い方が今よく流通しているものと異なっているものがあるから注意せよ。
(引用終り)
のことでしょうね

(参考) （注：赤 攝也先生は、かなり有名でしたね。いろんなところで、お名前を目にしました）
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B5%A4%E6%94%9D%E4%B9%9F
赤 攝也（赤 摂也、せき せつや、1926年5月7日[1] - 2019年11月4日[2]）は、日本の数学者。

経歴
1926年、石川県金沢市に生まれた。東京大学理学部数学科で学び、1949年に卒業して同大学大学院（旧制）に進んだ。1951年、大学院修士課程を修了。1961年、東京教育大学に学位論文を提出して理学博士号を取得。1962年、立教大学理学部数学科助教授となった。後に教授昇進。[3]。1984年に東京教育大学教授となった。1990年に東京教育大学を定年退官し、その後は放送大学教授、客員教授を務めた。

研究内容・業績
数学基礎論の研究で知られる。文筆活動も行い、筆名・愛知三郎。 立教大学での教え子に、早稲田大学理工学部教授を務めた廣瀬健がいる。

家族・親族
妻：赤冬子（1930-、立教大学英文科卒）は翻訳家。
妹：妹は、弥永昌吉ゼミ研究生だった関恒義一橋大学名誉教授の妻[4]。
義父：吉田洋一は数学者。哲学者の吉田夏彦は義兄にあたる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/924

931: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/01(水) 17:04:28.75 ID:2b7XvZNh

>>929
(引用開始)
>私の真意は、当然ながら 整列可能定理を前提として
>”列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列している”と解釈可能だということで
そんな解釈はできまへーーん
整列順序（当然整列定理も）が分かってないとしか言い様が無い
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）>>920 尾畑研究室 東北大 13.3 整列可能定理
『与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
　直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
　有限集合に対してなら何ら問題なくできる
　しかし無限集合に対してはどうだろうか
　カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
　実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
　定理13.15 (整列可能定理)
　任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる』
2）ここで、簡単に例示を補足する
　記号 「≤」を 下記の "順序集合"から借用する
　有限集合 ならば、{1，2，3}で
　標準は、1 ≤ 2 ≤ 3 だろう
　非標準 3 ≤ 2 ≤ 1 なども可能
　どちらも、整列集合である
3）可算無限集合では、非標準の例として 尾畑研 第13章 整列集合>>920 より
　13.1 整列集合
　例13.3 自然数のふつうの配列において初めの項を最後尾に並べ替えると
　n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2 (13.1)
　略 整列集合である
　例13.4 自然数を偶数と奇数を分けて偶数同士奇数同士では通常の大小を考え偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係≼を導入するこの順序に関して自然数を書き並べれば
　1 3 5 ・・・ 2 4 6 ・・・ （13.2）
　略 こうして得られる全順序集合は整列集合になる
4）上記のように、可算無限集合においても 標準的な整列集合や、非標準の整列集合の例が考えられる
　その上で、可算無限集合 { {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ } を 整列集合とするために （整列可能定理を使って）
　{}≤{{}}≤{{{}}}≤{{{{}}}}≤・・・
　とできるのです
　この場合において、隣り合う集合が
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ となっているということです
以上

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
定義
まず、二項関係について以下の用語を定める。
ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする
前順序・半順序・全順序
P を集合とし、≤ を P 上で定義された二項関係とする

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/931

963: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/02(木) 19:12:50.26 ID:Zl89R8aT

>>962
>大事な所だけもう一度言う。
>整列定理からは如何なる具体的整列順序も出ない。よって「整列定理を用いて」は大間違い。

整列定理については、下記 尾畑研究室 東北大
整列可能定理を音読してね

その上で、おれも言っておくが

・整列可能定理は、一階述語論理では選択公理と同値と言われる
・つまり、その本質は 整列可能”公理”である
・そもそも公理は、具体的な色がついていない
・具体的な色がついていないから、いろんな場面で万能に使えるってこと
・その上で、具体的な色がついていないけれど、数学者が工夫して 色を付けることを妨げない
・そうでなければ、公理として役に立たない

13.2整列集合の基本定理
本節では整列集合がつ与えられたときどちらか一方は他方を延長したものであるという基本定理を証明する

13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
有限集合に対してなら何ら問題なくできる
しかし無限集合に対してはどうだろうか
カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
定理13.15 (整列可能定理)
任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる
証明 Xを任意の集合とする
以下略す

注）
1）カントルは1883年の有名な論文で整列集合の概念を与えてすべての集合を整列集合にできることは原理であり自明なことであると主張した後年になって証明を試みたようであるが成果は得られず連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となったツェルメロは選択公理を原理として提起してそれを用いて整列可能定理を証明したその議論は大論争を巻き起こしたが情況が明らかになる中でツェルメロは集合の公理を提示するとともに
整列可能定理の別証明を与えた（1908）
2）赤[]にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/963

970: １３２人目の素数さん [] 2025/01/03(金) 17:47:30.91 ID:EOvn/AW5

>>968-969
>整列定理を
>「任意の集合は二項関係∈で整列できる」
>と”誤解”してる人がいるんだ

誤解しているのは君だよ
下記の尾畑研 ”13.3 整列可能定理”を百回音読してね

さて 例えば、有限集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} を考えると
標準は、（0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）の並びだが
整列可能定理で、（8,5,0,1,2,6,3,4,7,9）等として、これが整列順序だと宣言することは可能だ
整列順序の定義？ 見ての通りです
そのままが、整列順序の定義です
場合の数として、10！通り 可能です

さらに これを、可算無限集合の自然数Nにでも同じことができるというのが、整列可能定理です
だから、”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を 整列可能定理で 作ったと解釈してください。整列可能定理でね
それで、議論は終りです

>∈'の定義は必ず書いてね

デフォルト ！！
デフォルトという言葉をご存知ですか？
下記の尾畑研 第13章 整列集合 PDF内に例示があります
百回音読してね
そうすれば、”デフォルト”だと理解できるよ

(参考)>>920より再録
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21
第13章 整列集合
13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
有限集合に対してなら何ら問題なくできる
しかし無限集合に対してはどうだろうか
カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
定理13.15 (整列可能定理)
任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる
証明 Xを任意の集合とする
以下略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/970

973: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/03(金) 20:43:18.47 ID:QLWcqwtj

>>971
ふっふ、ほっほ
おとぼけ かい？

biz.kddi.com/content/glossary/d/default/
デフォルト
読み方 : デフォルト
正式名称 : Default
Defaultとは
デフォルトとは、設定や状態が特に指定されていない場合に適用される標準値や初期設定を指します。
コンピューターやソフトウェアの設定において、ユーザーが何も変更しなかった場合に自動的に使用される値やオプションがデフォルトです。
例えば、アプリケーションの初期設定や、ウェブブラウザのホームページ、ファイルの保存先などがデフォルトとして設定されています。
ユーザーはこれらのデフォルト設定を、特定のニーズに応じてカスタマイズすることもできますが、変更しなければそのまま使用されます。
デフォルト設定は、使いやすさや利便性を考慮して設計されており、多くのユーザーにとって最適な選択肢となることが多いです。
このように、デフォルト設定を理解しておくことは、コンピューターやソフトウェアの効率的な利用に役立ちます
(引用終り)

さて、>>931の3)にも書いたが、下記尾畑研pdfに例示がある
自然数のふつうの配列において初めの項を最後尾に並べ替え
n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2,n (13.1) を考える
このとき、下記尾畑研のpdfのように整列順序を定義できる
これは、一つの例だが、少し解説すると 前半(n+1,n+2,n+3 ・・・)と、後半(n-1,n-2,n)に分けて
それぞれに 普通の整列順序を与え、前半と後半の比較では 前半の元 ≦ 後半の元 と定義するってことだ

つまり、もっと言えば 並び”n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2”に 合うように 整列順序の定義を与えるってこと！
即ち、整列可能定理でできた整列順序列に対し、後付けで 整列順序の定義を与えるのです。お分かりかな？ｗ ；ｐ）
これが、今の場合の”デフォルト”の意味です
わかり合えている者同士では、当たり前すぎて 省略可能なのだ ；ｐ）

非標準の例として
(参考)>>920より再録
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21
第13章 整列集合
　13.1 整列集合
　例13.3 自然数のふつうの配列において初めの項を最後尾に並べ替えると
　n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2 (13.1)
これをもとにNに全順序≦が定義されるつまり x,y∈Nに対して
　略 整列集合である
　x≦y ←→ (i) x≦n,y≦n,x≦y または(ii) x≧n+1,y≧n+1, x≦y または (iii)x≧n+1,y≦n, x≦y
と定義するのであるこのとき全順序集合（N,≦)は整列集合になる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973

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